Integration durch Substitution beispielhafte Vorgehensweise

Question

Hallo,

es geht um Integration durch Substitution. Ich kenne leider nicht alle benötigten Regeln.

A) -G * m1 * mr $\int\limits_{0}^{R/2}$ $\frac{x}{(R^{2} + x^{2})^{\frac{3}{2}}}$ * dx

wird vereinfacht zu

B)

$\frac{-G * m1 * mr}{2}$ $\int\limits_{0}^{R/2}$ $\frac{dt}{(R^{2} + t)^{\frac{3}{2}}}$

Es gilt dabei $x^{2}$ = t und 2xdx = dt

Könnte mir jemand die schrittweise Vorgehensweise erklären?

Woher kommt die 2 im Nenner? Wie kommt 2xdx = dt zustande?

Ich bedanke mich im Voraus!

Answer 1

Es gilt dabei $x^{2} = t$

$(1)\qquad t = x^2$

Das $t$ wird als Funktion von $x$ aufgefasst:

        $t(x) = x^2$.

Die Funktion wird abgeleitet:

        $t'(x) = 2x$.

Eine andere Notation für die Ableitung von $t$ nach $x$ ist $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}$.

        $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{dx}} = 2x$

$\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}$ sieht aus wie ein Bruch, ist aber keiner. Trotzdem darf $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}$ manchmal wie ein Bruch behandelt werden.

$\begin{aligned}&&\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} &= 2x&&|\cdot\mathrm{d}x\\&&\mathrm{d}t &= 2x\,\mathrm{d}x&&|:2x\\&(2)&\frac{1}{2x}\mathrm{d}t&=\mathrm{d}x&&\end{aligned}$

Jetzt ersetzt man in $\int\limits_{0}^{R/2} \frac{x}{(R^{2} + x^{2})^{\frac{3}{2}}} \mathrm{d}x$  das $x^2$ durch $t$ (wegen $(1)$) und das $\mathrm{d}x$ durch $\frac{1}{2x}\mathrm{d}t$ (wegen $(2)$). Dann bekommt man

        $\int\limits_{0}^{R/2} \frac{x}{(R^{2} + t)^{\frac{3}{2}}} \frac{1}{2x}\mathrm{d}t$

Das $x$ wird weggekürzt und die $\frac{1}{2}$ wandern mittels Faktorregel vor das Integral.

Comments

Die Integrationsgrenzen müssen noch angepasst werden.

Wenn über $x$ von $0$ bis $\frac{R}{2}$ integriert wird und $t(x) = x^2$ ist, dann muss über $t$ von

        $t(0) = 0^2 = 0$

bis

        $t\left(\frac{R}{2}\right) = \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{R^2}{4}$

integriert werden.

Answer 2

Aloha :)

Die angegebene Substitution ist ungeschickt gewählt, es ist effizienter, direkt die ganze Klammer im Nenner zu substituieren...

Zur Bestimmung des Integrals$$I=\int\limits_0^{R/2}\frac{x}{(R^2+x^2)^{3/2}}\,dx$$kannst du folgende Substitution durchführen:$$u(x)\coloneqq R^2+x^2\quad\implies\quad\frac{du}{dx}=2x\;\text{ bzw. }\;dx=\frac{1}{2x}\,du$$Die Integrationsgrenzen musst du ebenfalls anpassen:$$u(0)=R^2\quad;\quad u(R/2)=R^2+\frac{R^2}{4}=\frac54R^2$$Das bauen wir in das Integral ein:$$I=\int\limits_{R^2}^{\frac54R^2}\frac{x}{u^{3/2}}\cdot\underbrace{\frac{1}{2x}\,du}_{=dx}=\int\limits_{R^2}^{\frac54R^2}\frac12\,u^{-3/2}\,du=\left[\frac12\cdot\frac{u^{-1/2}}{-\frac12}\right]_{R^2}^{\frac54R^2}=\left[-\frac{1}{\sqrt u}\right]_{R^2}^{\frac54R^2}$$$$\phantom{I}=-\frac{1}{\sqrt{\frac54R^2}}+\frac{1}{\sqrt{R^2}}=\frac1R\left(1-\frac{1}{\sqrt{\frac54}}\right)=\frac1R\left(1-\frac{2}{\sqrt5}\right)$$