Bestimmen Sie die Grenzwerte (ohne L'hospital)

Question

Bestimmen Sie die Grenzwerte

a) \( \lim \limits_{x \rightarrow-2} \frac{x^{2}-x-6}{x-2 x^{2}+10} \)

b) \( \lim \limits_{x \rightarrow 4} \frac{\sqrt{1+2 x}-3}{\sqrt{x}-2} \)

Hallo, mein Problem ist, dass ich bei diesen Grenzwerten nicht richtig weiter komme. Das problem ist, dass wir L'hospital nicht verwenden dürfen. Mit L'hospital komme ich auf a) -5/9 & b) 4/3.

Ohne komme ich auf a) 0 und b) 1. 0 & 2. 3/2.

Da die Ergebnisse somit nicht übereinstimmen, würde ich mich mega darüber freuen, wenn jemand mir weiterhelfen könnte :D mir geht es halt nicht nur um die Lösung, der Lösungsweg würde mir beim Verständnis glaube ich etwas helfen.

LG :)

Answer 1

Aloha :)

$$\frac{x^2-x-6}{x-2x^2+10}=\frac{(x-3)\cancel{(x+2)}}{-(2x-5)\cancel{(x+2)}}\stackrel{(x\to-2)}{=}-\frac{5}{9}$$

$$\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt x-2}=\frac{(\sqrt{1+2x}-3)(\sqrt{1+2x}+3)}{(\sqrt x-2)(\sqrt{1+2x}+3)}=\frac{1+2x-9}{(\sqrt x-2)(\sqrt{1+2x}+3)}$$$$\qquad=\frac{2(x-4)}{(\sqrt x-2)(\sqrt{1+2x}+3)}=\frac{2\cancel{(\sqrt x-2)}(\sqrt x+2)}{\cancel{(\sqrt x-2)}(\sqrt{1+2x}+3)}\stackrel{(x\to4)}{=}\frac{2\cdot4}{\sqrt9+3}=\frac43$$

Comments

Kann man dir iwie Paypal überweisen, würde mich echt gerne mal erkenntlich zeigen, mega Antwort. Danke dir!!

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Du hast dich doch schon bedankt ;)
Ich freue mich immer, wenn meine Hilfe ankommt und auf fruchtbaren Boden trifft.
Mache ich gerne.

Answer 2

\(\begin{aligned} \lim \limits_{x \rightarrow-2} \frac{x^{2}-x-6}{x-2 x^{2}+10}=\lim \limits_{x \rightarrow-2} \frac{(x+2)(x-3)}{(x+2)(-2 x+5)}=\lim \limits_{x \rightarrow-2} \frac{x+2}{-2 x+5} .\end{aligned} \)
Bei dem zweiten mit
\(\begin{aligned} \frac{\sqrt{1+2 x}+3}{\sqrt{1+2 x}+3}\end{aligned} \)
erweitern.

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Vielen Dank für deine Antwort!