Vektorrechnung, Ebenengleichung und Geradengleichungen, unbekannten Punkt berechnen

Question

Aufgabe:

1.2 Teil 3- Ubung 2
1. Die Fußpunkte (ABCD) von vier Säulen bilden ein Rechte $\mathrm{k}$. D stehe im Ursprung, $\overline{A D}=4 \mathrm{~m}(\mathrm{x}-\mathrm{Ri}$ chtung) und $\overline{A B}=5 \mathrm{~m}$ (y-Richtung). Die Säulen haben unterschiedliche Höhen:
- Säule 1 (FuBpunkt A, Endpunkt E): $5 \mathrm{~m}$
- Säule 2 (FuBpunkt B, Endpunkt F): $3 \mathrm{~m}$
- Sãule 3 (Fußpunkt C, Endpunkt G): $5 \mathrm{~m}$
- Säule 4 (Fußpunkt D, Endpunkt H): ni cht gegeben.
Auf die Säulen soll eine gerade Platte mit den Eckpunkten (E FGH) gelegt werden.
(a) Berechnen Sie die dazu notwendige Höhe der Säule $4 .$
(b) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Plate.
(c) Berechnen Sie die Innenwinkel und die Seitenlängen der Platte
(d) Die Platte liege in der Ebene $E_{1}$. Geben Sie eine Gleichung von $E_{1}$ an.
(e) Berechnen Sie den Abstand zwischen $E_{1}$ und den 4 Fußpunkten A,B, C und D.
(f) Von den Punkten D und $A$ ausgehend werden 2 weitere Stützbalken angebracht. Diese zeigen in die Richtung $\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ (Startpunkt D) und $\left(\begin{array}{c}-0.5 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ (Startpunkt A). Berechnen Sie, an welchen Punkten diese Balken die Platte treffen.
(g) Untersuchen Sie, ob die beiden Balken sich treffen und berechnen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt.
(h) Die Gerade $g_{1}$ enthalte den Balken mit dem Ausgangspunkt D. Die Gerade $g_{2}$ enthalte den Balken mit dem Ausgangspunkt A. Die Gerade $g_{3}$ gehe durch die Mittelpunkte der Kanten $\overline{E F}$ und $\overline{G H}$. Berechnen Sie die Abstände zwischen $g_{1}$ und $g_{3}$ und zwischen $g_{2}$ und $g_{3}$.
(i) Berechnen Sie das überdachte Volumen, also das Volumen des Körpers ABCD EFGH.

Fragen: zu a) ist dort der Punkt den ich ausgerechnet habe oder muss man dort etwas anderes berechnen? Das war das einzige was mir eingefallen ist einen unbekannten Punkt auszurechnen.

b) müsste meiner Meinung nach richtig gerechnet sein falls nicht bitte etwas schreiben.

c) sollte auch richtig berechnet sein auch hier bitte etwas schreiben falls nicht.

d) habe ich hier die Gleichung für die Ebene richtig bestimmt? Oder ist hier ein Fehler?

e) sollte die Gleichung richtig sein dann denke ich das es die Abstände zu den Punkten auch sein müssten auch wenn ich nicht verstehe warum der Abstand zu D =0m sind.

f) Hatte hier irgendwie extreme Probleme mit den Schnittpunkten. Normalerweise hab ich immer die gerade in die ebenengleichung eingesetzt und dann aufgelöst aber hier kamen irgendwie komische schnittpunkte raus und hab deswegen nach Lösungen im Internet geschaut und hab es dann so gemacht. Kann man nicht immer die gerade in die ebenengleichung einsetzen?

g) Hab ich hier die geradengleichungen richtig bestimmt? Wenn ja müsste ich richtig gerechnet haben hoffe ich.

i) hier wusste ich nicht wirklich weiter da man ka verschiedene Höhen hat. Kann ich dort einen höhen Mittelwert berechnen oder wie berechnet man das Volumen hier?

Ich bedanke mich jetzt schon für jede einzelne Hilfe!

Lösungen:

Comments

So ich habe jetzt nochmal alles überarbeitet.

Bei a) unverändert

Η=E+FG also $\begin{pmatrix} 4\\0\\5\end{pmatrix}$ + $\begin{pmatrix} -4\\0\\2\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 0\\0\\7 \end{pmatrix}$

b) hab ich halt diesmal eine Rechteckfläche als fälschlicherweise eine dreieckfläche berechnet.

A□=|EF × EH| also

|$\begin{pmatrix} 0\\5\\-2 \end{pmatrix}$ × $\begin{pmatrix} -4\\0\\2 \end{pmatrix}$| = 23,75 m²

c) Die Winkel berechnet hier schreibe ich mal nur die Ergebnisse. Keine Ahnung wie man das hier als Formel schreiben kann.

alpha= 99,56°

beta= 80,44°

gamma= 99,56°

delta= 80,44°

Und die längen

d1= |EH| = 4,47m

d2= |HG|= 5,39m

d3= |GF| = 4,47m

d4= |FE|= 5,39m

d) E1:x=$\begin{pmatrix} 4\\0\\5\end{pmatrix}$+s$\begin{pmatrix} -4\\0\\2 \end{pmatrix}$+t$\begin{pmatrix} 0\\5\\-2 \end{pmatrix}$

N=s×t = $\begin{pmatrix} -4\\0\\2 \end{pmatrix}$×$\begin{pmatrix} 0\\5\\-2 \end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix} -10\\-8\\-20 \end{pmatrix}$

E1: -10x-8y-20z hier den Stützvektor eingesetzt um d=-140 rauszubekommen.

Also E1: -10x-8y-20z=-140

e) Auch hier weiß ich nicht wie man hier die Formel schreibt aufjedenfall als Ergebnisse der Abstände

dA=4,21m

dB=2,53m

dC=4,21m

dD=5,9m

f)

g1:x= $\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}$+v$\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}$

g2:x=$\begin{pmatrix} 4\\0\\0 \end{pmatrix}$+u$\begin{pmatrix} -0,5\\1\\1 \end{pmatrix}$

Schnittpunkte mit der Ebene E1:

Da habe ich die gerade g1 in die Gleichung der Ebene eingesetzt dort kam für v=3,68 raus und diesen Wert in die Geradengleichung eingesetzt um x,y,z herauszufinden und den SP  $\begin{pmatrix} 3,68\\3,68\\3,68 \end{pmatrix}$ bekommen.

Und das selbe Spiel mit der g1 und hier für u=4,35 bekommen also ist der SP $\begin{pmatrix} 1,825\\4,35\\4,35 \end{pmatrix}$

g) Habe ich g1 und g2 gleichgesetzt um herauszufinden ob ein SP vorhanden ist habe für u und v =2,67 heraus und diese in die übrig gebliebenen Gleichung gesetzt und ablesen können das ein SP vorhanden ist.

Also habe ich ein von den beiden Werten in ihre jeweilige Gleichung gesetzt um den SP $\begin{pmatrix} 2,67\\2,67\\2,67 \end{pmatrix}$ zu bekommen

h)  g3:x=$\begin{pmatrix} 4\\2,5\\4 \end{pmatrix}$+r$\begin{pmatrix} 0\\2,5\\6 \end{pmatrix}$

Hier habe ich für die Abstände

g1g3= 1,22m

g2g3= 0,52m heraus

I) weiß ich immernoch nicht wie es gemacht werden muss.

Answer 1

Hallo,

a) ist richtig

b) wieso rechnest du mit 1/2? Die Platte hat einen Flächeninhalt von 23,75.

c) die Längen der Strecken sind richtig, die Winkel auch

d) Die Koordinatengleichung der Ebene stimmt bis auf d:

$-10x-8y-20z=d$

Setze die Koordinaten von E in die Gleichung ein, um d zu bestimmen. Anschließend kannst du auch noch kürzen, um "praktischere" Zahlen zu haben.

Weiter bin ich noch nicht gekommen...

Gruß, Silvia

Comments

Oh da hatte ich wohl kurz die Fläche vom Dreieck im Kopf. Stimmt ist ja ein Rechteck. Kleiner Denkfehler.

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Jetzt weiß ich auch warum ich bei den Schnittpunkten nicht weiter gekommen bin mit der Ebenengleichung. die -140 haben gefehlt.

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Abstandsformel Punkt - Ebene

$\mathrm{d}(\mathrm{P} ; \mathrm{E})=\frac{\left|\mathrm{n}_{1} \mathrm{p}_{1}+\mathrm{n}_{2} \mathrm{p}_{2}+\mathrm{n}_{3} \mathrm{p}_{3}-\mathrm{d}\right|}{|\overrightarrow{\mathrm{n}}|}$

Für Punkt A komme ich dann auf $\frac{\left|5\cdot 4-\mathrm{70}\right|}{|{\sqrt{25+16+100}}|}=\frac{50}{\sqrt{141}}=4,21$

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Ja, ich würde die Koordinatenform nach dem Kürzen schreiben als

$E:5x+4y+10z=70$

Es sei denn, du rechnest lieber mit größeren Zahlen ;-)

Aufgabe f) Schnittpunkte - richtig

Schnittpunkt in g) ebenfalls

Answer 2

Erstmal Prima schreibe, das ist die halbe Miete! :-)

Warum nimmst Du nicht so was GeoGebra uä. und malst die Scene auf - da hast Du Anschauung und die Ergebnisse?

a) ok

b) warum nur 1/2 Fläche?

c) ok

d) plane(E,F,G) > -5 x - 4y - 10z = -70

$HNF(x,y,z):=-5 \cdot \frac{x}{\sqrt{141}} - 4 \cdot \frac{y}{\sqrt{141}} - 10 \cdot \frac{z - 7}{\sqrt{141}}$

Die Ebene geht durch H und nicht durch den Ursprung wie bei Dir

- hast DU ja gemerkt Abstand zu D=0.aber nix dabei gedacht;-)?

e) passt dann latürnich auch nicht

$\left\{a= \frac{50}{\sqrt{141}},b= \frac{30}{\sqrt{141}}, c=\frac{50}{\sqrt{141}}, d=\frac{70}{\sqrt{141}} \right\}$

f) die einsetzmethode ist ok, Deine Ebene passt halt net...

nur würde ich hier die Normalenform nehmen und als Scalarprodukt schreiben

(5,4,10) (X)-70 = 0 

==> (5,4,10) (t (1,1,1))-70=0 ===> t=70/19

==>(5,4,10) ( (-1 / 2 t + 4, t, t))-70

g) merkwürdige Stützbalken?

sie treffen sich (8/3,8/3,8/3) hast Du ja, oder?

i) Abschneiden was nicht zur Figur gehört

Comments

Also i) verstehe ich immernoch nicht. Wie man dort das Volumen rausbekommt.

Hab auch nochmal ein Kommentar geschrieben von meinen überarbeiteten Berechnungen.

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Zu i) hab ich doch aufgemalt, man schneidet das Teil bei z=5 durch und klappt eine Pyramide P_H rum und füllt den Abschnitt P_F damit auf...

Hier ein Link

https://www.geogebra.org/m/b2bubwsf

zur Überprüfung der Ergebnisse

und mit den farbigen Punkten im mittleren Fenster, kann man die Sichtbarkeit im 3D Fenster an- und ausschalten....

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Und das Volumen ist dann 13,34?

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Also PF+PH ergibt das Gesamtvolumen für ABCD EFGH?

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Der Körper ABCD EFGH reduziert sich durch Einsetzen der Pyramide P_H=EGH in P_F=EGF auf ein Prisma 4x5x5

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Ich muss das auch mal ausprobieren mit GeoGebra. Es ist schöner wenn man sowas sieht.

Also ist das Volumen 100m³ oder?

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Aber da hätte ich doch auch den Mittelwert der Punkte EFGH bilden können und dann damit rechnen können?

Also E+F+G+H ÷ 4

Und dann |EFGH•(AB×AD)| und das Ergebnis wäre das Volumen?

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Jetzt hast Du's :-)...

Ich denke das bestätigt sich nur durch die Anschauung.

Die Pyramiden

P_H=Pyramid(Polygon(E, G, D + (0, 0, 5)), H)

P_F=Pyramid(Polygon(E, G, F + (0, 0, 2)), F)

sind Volumengleich.

Um P_H nach P_F zu bringen

haben wir eine Rotation um die Mittelsenkrechte

P_Hrot=Rotate(P_H, 180°, Line((E + G) / 2, (A + C) / 2))

und eine Spiegelung in der Schnittebene

P_H'=Reflect(P_Hrot, Plane(E, G, (0, 0, 5)))

ergibt das Prisma

Prism(Polygon(B, C, D, A), F + (0, 0, 2))

V=100

btw. wo kommen die m plötzlich her?