Bestimmung Änderungsrate beim ersten Argument bei Erhöhung des zweiten Arguments

Question

Gegeben sei die Funktion

F(x₁,x₂) = 9x₁^0.65 x₂^0.24

Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate des ersten Arguments bei Erhöhung des zweiten Arguments um eine marginale Einheit an der Stelle a = (8,9) und unter Beibehaltung des Niveaus der Funktion F.

Answer 1

Aloha :)

Da das Niveau $F$ beibehalten werden soll, ist das totale Differential $dF=0$:$$0\stackrel!=dF=\frac{\partial F}{\partial x}\,dx+\frac{\partial F}{\partial y}\,dy=0,65\cdot9x^{-0,35}y^{0,24}dx+0,24\cdot9x^{0,65}y^{-0,76}dy$$$$\phantom{0}=\frac{0,65}{x}\cdot9x^{0,65}y^{0,24}dx+\frac{0,24}{y}\cdot9x^{0,65}y^{0,24}dy=\frac{0,65}{x}\,F(x;y)\,dx+\frac{0,24}{y}\, F(x;y)\,dy$$Wenn das Niveau $F(x;y)\ne0$ ist, was hier für den Punkt $(8;9)$ sicher der Fall ist, können wir beide Seiten der Gleichung durch $F(x;y)$ dividieren:$$\left.\frac{0,65}{x}dx+\frac{0,24}{y}dy=0\quad\right|(8;9)\text{ einsetzen}$$$$\left.\frac{0,65}{8}dx+\frac{0,24}{9}dy=0\quad\right|-\frac{0,24}{9}dy$$$$\left.\frac{0,65}{8}dx=-\frac{0,24}{9}dy\quad\right|\cdot\frac{8}{0,65}$$$$\left.dx=-\frac{0,24}{9}\cdot\frac{8}{0,65}\,dy\quad\right|\text{ausrechnen}$$$$dx=-\frac{64}{195}\,dy\approx-0,3282\,dy$$

Die momentante Änderungsrate des ersten Argumentes bei einer Erhöhung des zweiten Argumentes um eine marginale Einheit $dy$ beträgt daher $-\frac{64}{195}\approx-0,3282$.

Answer 2

F(8,9) = 18 · 2^19/20 3^12/25 = 9x₁^0.65 x₂^0.24 nach x₁ umformen und nach x₂ ableiten.