Wann ist eine Funktion stetig?

Question

Aufgabe:

Wann ist eine Funktion stetig?

Problem/Ansatz:

Wenn

1) f (x0) definiert ist

2) lim x→x0 f(x) existiert

3) lim x→x0 f(x) = f(x0)

Ich verstehe nicht was mit "f(x0) definiert" gemeint ist und  "lim x→x0 f(x) existiert"

und "lim x→x0 f(x) = f(x0)", ich habe mir schon videos angeschaut begreife es aber leider nicht... ich hoffe auf eine Antwort, welches mir erklärt was mit diesen drei Bedingungen gemeint sind.

Comments

ich habe mir schon videos angeschaut

Wie wäre es mit einem Blick in Deine Vorlesung / Dein Unterrichtsmaterial?

Vielleicht schreibst Du mal Eure Definition hierhin und erklärst, was Du daran nicht verstehst.

Die 1. Bedingung lässt sich allerdings leicht erklären: Sie besagt, das x0 zum Definitionsbereich von f gehört.

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also die x→x0 vor dem lim, sollen unter dem lim stehen, wusste aber nicht wie ich das so digital hinbekommen sollte.

Answer 1

Dann gib einmal einen Link
auf ein Video.

Wenn eine Funktion ohne abzusetzen gezeichnet
werden kann.
Falls keine Postellen vorhanden sind.

Comments

"Wenn eine Funktion ohne abzusetzen gezeichnet werden kann." beantwortet meine Frage leider nicht... das ist sehr oberflächlich.

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Unglücklichsterweise sind deine 3
Bedingungen mir unverständlch.

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Was sind denn Postellen ?

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Was sind denn Postellen ?

Es handelt sich um ein altes Längenmaß, das früher im Brief- und Paketwesen Verwendung fand.

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Macht Sinn. Danke! Dachte erst an einen Fluss in Südeuropa.

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Mit den drei Bedingungen sind die Bedingungen gemeint, welche gelten müssen, wenn eine Funktion Stetig ist..

Answer 2

Aloha :)

Es müssen alle drei Bedingungen erfüllt sein, damit eine Funktion $f$ im Punkt $x_0$ stetig ist.

1) Die Funktion muss an der Stelle $x_0$ überhaupt erstmal definiert sein, das heißt es muss einen Funktionsert $f(x_0)$ geben.

2) Alle Wege, auf denen du dich diesem Wert $x_0$ nähern kannst, müssen zum gleichen Grenzwert führen. In einer Dimension gibt es nur 2 Wege. Du kannst dich dem Wert $x_0$ von links nähern, also von dort wo $x<x_0$ ist. Du kannst dich dem Wert $x_0$ aber auch von rechts nähern, also von dort wor $x>x_0$ gilt. Beide Grenzwerte müssen gleich sein.

3) Die beiden Grenzwerte aus (2) müssen nicht nur gleich sein, sie müssen auch mit dem Funktionswert $f(x_0)$ aus (1) übereinstimmen.

Hier mal ein paar Beispiele:

$$f_1(x)=\left\{\begin{array}{c}x^2-2x+1 &\text{für }x>0\\x+1 & \text{für } x<0\end{array}\right.$$Die Funktion ist an der Stelle $x_0=0$ nicht stetig, weil es keinen Funktionswert $f(x_0)$ gibt. Forderung (1) ist also verletzt.

$$f_2(x)=\left\{\begin{array}{c}x^2-2x+1 &\text{für }x>0\\0 & \text{für }x=0\\x+1 & \text{für } x<0\end{array}\right.$$Die Funktion ist an der Stelle $x_0=0$ nicht stetig. Nun ist zwar die Funktion bei $x_0=0$ definiert mit $f(0)=0$. Aber der linksseitige Grenzwert, also von $x<0$ kommend, ist $1$. Der Funktionswert stimmt also nicht mit dem linksseitigen Grenzwert überein. Forderung (3) ist verletzt.

$$f_3(x)=\left\{\begin{array}{c}x^2-2x+1 &\text{für }x>0\\1 & \text{für }x=0\\x & \text{für } x<0\end{array}\right.$$Die Funktion ist nicht stetig bei $x_0=0$. Der Funktionswert exisitiert und ist $f(0)=1$. Der rechtsseitige Grenzwert ist $1$, aber der linksseitge Grenzwert ist $0$.

$$f_4(x)=\left\{\begin{array}{c}x^2-2x+1 &\text{für }x>0\\1 & \text{für }x=0\\x+1 & \text{für } x<0\end{array}\right.$$Hier stimmt nun alles, die Funktion ist stetig bei $x_0=0$.

Answer 3

stetig bedeutig, dass du die Fkt mit einem Stift durchziehen kannst.

Von Bedeutung sind hier besondere Stellen (wie z.B. Lücken oder ähnlichen).

Du musst folgendes gucken:
1. Existiert ein Funktionswert an dieser Stelle?
2. Gibt es einen Grenzwert an der Stelle?
3. Stimmen die Werte von 1. und 2. überein?

Dies muss nur nachgewiesen werden.

Hast du eine konkrete Fkt gegeben?