Darstellende Matrix Basen

Question

ich weiß nicht genau wie ich bei dieser Aufgabe die Basen Bestimmen soll damit die Einheitsmatrix ergibt. Ich dachte an die inverse Matrix von A aber weiß auch nicht ob das was bringt, wenn man die beiden Matrizen multipliziert und die Einheitsmatrix bekommt und was das mit den Basen zu tun hat.

Text erkannt:

Gegeben Sei die Matrix
\( A=\left(\begin{array}{cccc} 5 & 3 & 4 & 32 \\ 7 & 4 & 8 & 46 \\ 12 & 7 & 12 & 78 \\ 14 & 8 & 16 & 92 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{4 \times 4} \)
Finden Sie Basen \( \mathcal{X} \) und \( \mathcal{Y} \) von \( \mathbb{R}^{4} \), so dass die darstellende Matrix der Abbildung \( f_{A} \) folgende Form hat:
\( M_{\mathcal{Y}}^{\mathcal{X}}\left(f_{A}\right)=\left(\begin{array}{cc} E_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right) . \)

Answer 1

Der Kern hat z.B. die Basis

$$\begin{pmatrix} -8\\12\\1\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -10\\6\\0\\1 \end{pmatrix}$$

Die kann man mit e1 und e2 zu einer Basis von R⁴ ergänzen

$$\begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\1\\0\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -8\\12\\1\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -10\\6\\0\\1 \end{pmatrix}$$

Das ist dann das X und es sind die Bilder der Basisvektoren

$$\begin{pmatrix} 5\\7\\12\\14 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 3\\4\\7\\8 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\0\\0\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\0\\0\\0 \end{pmatrix}$$

Also musst du nur

$$\begin{pmatrix} 5\\7\\12\\14 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 3\\4\\7\\8 \end{pmatrix}$$

mit der Basis des Kerns zu einer Basis von R⁴ ergänzen,

und bekommst das Y etwa so

$$\begin{pmatrix} 5\\7\\12\\14 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 3\\4\\7\\8 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -8\\12\\1\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -10\\6\\0\\1 \end{pmatrix}$$

Comments

Wie hast du die Basis des Kerns berechnet? Hast du die Matrix A in ein homogenes LGS überführt?

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und wie bist du auf die Bilder der Basisvektoren gekommen

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A in ein homogenes LGS überführt?

Ja genau .

Bilder der Basisvektoren: Für jeden einzelnen:

A * Basisvektor