Funktionsgleichung ermitteln von Graphen

Question

wie kannn ich von so einem Graph die Funktionsgleichung ermitteln? Es ist Polynomfunktion. Ich muss die Nullstellen angeben und Funktionsgleichung ermitteln.

Problem/Ansatz:

Comments

Geht man von f(0)=f(1)=f(2)=f(4)=0 und f(3)=-3 aus, dann hat man zumindest "nach Augenmaß" die Zeichnung ziemlich genau ausgewertet.

Answer 1

f(x)= a*x*(x-1)(x-2)(x-4)

f(1.5)= 0.5

a= -16/45

Comments

a= -16/45

hüstel. Ich vertrete die Ansicht, a = 8/15.

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https://www.wolframalpha.com/input/?i=0.5%3Da*+x%28x-1%29%28x-2%29%28x-3%29%28x-4%29+%2C+x%3D1.5

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Hasentöter, was willst Du mit dem Link mitteilen? Die Formel dort geht von einer Nullstelle bei x=3 aus, die gibt es aber nicht.

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@Gast2016: Eine Polynomfunktion 4. Grades mit negativem Leitkoeffizienten hat über ℝ immer ein globales Maximum, was hier augenscheinlich nicht der Fall ist.

Answer 2

Nullstellenform der Parabel 4.Grades:

f(x)=a*x*(x-1)*(x-2)*(x-4)

P(1,5|0,5)

f(1,5)=a*1,5*(1,5-1)*(1,5-2)*(1,5-4)

a*1,5*(1,5-1)*(1,5-2)*(1,5-4)=0,5

a=...

f(x)=...

Comments

Dann ergänze mal den Punkt \((3\vert -3)\).

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Wählt man da irgendeinen Punkt? Wieso nehmen sie den Punkt 1,5/0.5

Answer 3

Die Kurznotation der ablesbaren Angaben

f ( 0 ) = 0
f ( 1.5 ) = 0.5
f ' ( 1.5 )= 0
f ( 2 ) = 0
f 4 ) = 0

f ( x ) = 0,4622·x^4 - 3,2 * x^3 + 6,2577 * x^2 - 3,4133 *x

Bei Bedarf nachfragen.

Comments

Ich kann weder in den von mir verwendeten
Angaben noch in der von mir
herausgefundenen Funktionsgleichung
ein Fehler finden.

f(x) = 0,4622·x^4 - 3,2·x^3 + 6,2577·x^2 - 3,4133·x

Sieht jemand einen Fehler ?

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@Georg:

Der Punkt (1,5/0,5) sollte nicht genommen werden.

Lies mal die Diskussion, die ich deswegen ausgelöst habe!

Ich finde solche Aufgaben sehr problematisch, weil sie scheinbar

eindeutige Punkte vorgaukeln, die aber offenbar nicht eindeutig sind.

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Ich kann weder in den von mir verwendeten Angaben noch in der von mir
herausgefundenen Funktionsgleichung einen Fehler finden

Deine Kurve ist der orange Graph

Der geht deutlich am Punkt \((1|\,0)\) vorbei und das zweite Minimum reicht nicht tief genug hinunter.

Ich denke, es liegt an der Kombination des 'kleinen' Ablesefehlers beim Punkt \((1,5|\,0,5)\) und der Verwendung der Steigung im Punkt \((1|\,0)\). Dadurch wirkt sich der Ablesefehler noch mehr aus (Hebelwirkung).

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Hallo Werner,

Verwendete Angaben

f ( 0 ) = 0
f ( 1.5 ) = 0.5
f ' ( 1.5 ) =  0
f ( 2 ) = 0
f ( 4 ) = 0

Es wurden in der Rastereinteilung liegende Punkte ( leichter ablesbar ) verwendet.

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Nach der Funktion berechnet

f ( x ) = 0,4622·x^4 - 3,2 * x^3 +
6,2577 * x^2 - 3,4133 *x

f ( 0 ) = 0
f ( 1.5 ) = 0.5
f ' ( 1.5 ) = 0
f ( 2 ) = 0
f ( 4 ) = 0

Dasselbe.

Zur Vervollständigung die Nullstellen
0,1,2,4

Deine Methode die Funktionsgleichung
über die Nullstellen zu ermitteln ist
natürlich einfacher.

Answer 4

Hallo,

Geht man von f(0)=f(1)=f(2)=f(4)=0 und f(3)=-3 aus, dann hat man zumindest "nach Augenmaß" die Zeichnung ziemlich genau ausgewertet.

so sehe ich das auch. Und dann entsteht auch ein vergleichsweise einfache Lösung$$f(x)=a\cdot x(x-1)(x-2)(x-4)\\ f(3)=-3 \implies -6a = -3 \implies a = \frac 12\\ f(x)=\frac 12 x(x-1)(x-2)(x-4)\\ \phantom{f(x)}=\frac{1}{2}\left(x^{4}-7x^{3}+14x^{2}-8x\right)$$

Gruß Werner

Comments

Warum darf man nicht den Punkt (1,5/0,5) einsetzen?

Weil er zugleich Extremum ist?

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Weil er oberhalb des Graphen liegt.

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Warum darf er das nicht für die Berechnung?

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Warum darf man nicht den Punkt (1,5/0,5) einsetzen?
Weil er zugleich Extremum ist?

Weil er sicher KEIN Extremum ist, sondern knapp daneben liegt. Der Graph ist ja nicht symmetrisch. Wenn man nachrechnet, liegt dort das Extremum ca. bei \(x_e=1,53091\).

Wenn irgendwo ein Punkt auf dem Graphen mit ganzzahligen Koordinaten existiert, der auch noch möglichst weit von der X-Achse entfernt ist, dann würde ich den jedem anderem Punkt vorziehen.

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Weil er oberhalb des Graphen liegt.

das ist irelevant. Hier wird ja der Faktor für die Skalierung gesucht. Also wählt man einen Punkt, dessen Betrag des Funktionswertes möglichst groß ist. Das gibt den kleinst möglichen Ablesefehler.

Und wenn er dann noch ganzzahlig ist, umso besser!

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Warum darf er das nicht für die Berechnung?

Wenn man die Koordinaten eines Punktes einsetzen will, der AUF dem Graphen liegt, dann ist das Einsetzen eines Punktes, der NICHT auf dem Graphen liegt, kontraproduktiv.i

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Noch ein Hinweis: selbst man versucht, das Minimum als Referenz zu nutzen, und ich dort die Koordinaten \((3,3|\,-3,45)\) schätze bzw. ablese, kommt man auf einen Wert für den Faktor \(a\) von $$a= 0,4995$$was doch sehr nach \(a=1/2\) 'riecht'.

Ablesefehler lassen sich u.U. nicht vermeiden. Aber man sollte die Punkte so wählen, dass sich der Ablesefehler nicht zu stark auf das Ergebnis auswirkt.

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Für mich sieht es deutlich so aus, dass (1,5/0,5) auf dem Graphen liegt.

Daher habe ich nicht weiter nachgeprüft.

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Für mich sieht es deutlich so aus, dass (1,5/0,5) auf dem Graphen liegt.

Das ist nicht Teil meiner Kritik! Es ist einfach ungünstig einen Punkt mit einem Funktionswert von \(|f|\approx 0,5\) zu wählen. Der Funktionswert \(|f(3)|=3\) ist 6-mal so groß und folglich geht ein eventueller Ablesefehler mit den Faktor 6 weniger(!) ein.

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Der Punkt fällt so ins Auge, dass es kein Wunder ist, wenn er genommen wird.

Moliets nahm ihn auch.

Wetten, dass Schüler:innen das auch tun?

Darum finde ich solche Aufgaben problematisch.

Dass sollte bei der Bewertung berücksichtigt werden.

Man kann in einer Prüfung nicht verlangen, dass man das nachprüft

und deswegen Zeit verliert.

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Exakte Punkte sollten am besten vom Lehrer eingetragen werden.

Wenn man einen Streck-Stauch-Faktor bestimmen will ist es günstig immer einen y-Wert zu nehmen der vom Betrag möglichst groß ist. Daher sollte man hier besser den Punkt (3 | -3) benutzen als den Punkt (1.5 | 0.5).

Answer 5

Hallo,

für eine Polynomfunktion 4. Grades brauchst du fünf Bedingungen.

Die Nullstellen scheinen 0, 1, 2 und 4 zu sein.

f(x)=a*x*(x-1)*(x-2)*(x-4)

Nun brauchst du noch einen weiteren Punkt, um a zu bestimmen.

P(3|-3) scheint am sinnvollsten zu sein.

-3=a*3*2*1*(-1)

a=0,5

f(x)=0,5*x*(x-1)*(x-2)*(x-4)

Bei Bedarf kannst du noch ausmultiplizieren.

:-)

PS:

f(1,5)=0,46875≈0,5

Answer 6

Da 4 Nullstellen abzulesen sind versucht man die faktorisierte Form.

f(x) = a·x·(x - 1)·(x - 2)·(x - 4)

f(3) = a·3·(3 - 1)·(3 - 2)·(3 - 4) = - 3 → a = 0.5

Also würde ich vorschlagen

f(x) = 0.5·x·(x - 1)·(x - 2)·(x - 4)