Hallo
Folgender Weg ist auch möglich. Bei solchen Integralen verwendet man die typische Substitution.
(t= tan(x/2) )
Diese braucht nicht jedesmal hergeleitet werden, denn Sie gelten immer bei den Sin , Cos , Tan Cot -Funktonen .
Deshalb entnimmt man das sofort aus einem Tafelwerk. Dabei kürzt sich das Ganze sehr elegant weg
und es bleibt noch ein sehr einfaches Grundintegral übrig.
Folgende Substitution vereinfacht den Nenner auch:
x = 2u; u=x/2 dx/du = 2 ---> dx = 2du cos(2u) = cos2 u - sin2 u = 1-2sin2 ( u) 1/(1-cos(2u)) = 1/(2sin2 (u)) Hier müsste man die Stammfunktion von 1/sin2 (x) kennen. Falls nun ∫ 1/sin2 (x) dx = - cot(x) + C bekannt ist, Folgt
∫ 1(1-cos x) dx = ∫ 1/(2sin2 (u)) 2du = ∫ 1/(sin2 (u)) du =- cot u + C = - cot (x/2) + C
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