Projektionen usw. Löse folgende Aufgaben bezüglich Vektorräumen

Question

Im Vektorraum \( \mathbb{R}^{3} \) seien die Vektoren
\( v_{1}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), v_{2}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), v_{3}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \) und \( w_{1}=\left(\begin{array}{r}-1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right), w_{2}=\left(\begin{array}{r}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right), w_{3}=\left(\begin{array}{r}4 \\ 1 \\ -3\end{array}\right) \) gegeben.
a) Zeigen Sie, dass es genau eine lineare Abbildung \( \Phi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) gibt mit \( \Phi\left(v_{i}\right)=w_{i} \) für \( i=1,2,3 \).
b) Bestimmen Sie Kern \( \Phi \), Bild \( \Phi \) und deren Dimensionen.
c) Zeigen Sie, dass \( \Phi \circ \Phi=\Phi \) ist.
Bemerkung: Eine lineare Abbildung mit dieser Eigenschaft nennt man eine Projektion.

Answer 1

Aloha :)

zu a) Wir bauen uns die Abbildungsmatrix \(\Phi\) aus den bekannten Transformationen:$$\left(\begin{array}{r}-1\\1\\2\end{array}\right)=\Phi\left(\begin{array}{r}0\\1\\0\end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{r}1\\0\\-1\end{array}\right)=\Phi\left(\begin{array}{r}0\\0\\1\end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{r}4\\1\\-3\end{array}\right)=\Phi\left(\begin{array}{r}2\\1\\1\end{array}\right)$$indem wir diese zu einer Matrix-Gleichung zusammenfassen$$\left(\begin{array}{rrr}-1 & 1 & 4\\1 & 0 & 1\\2 & -1 & -3\end{array}\right)=\Phi\left(\begin{array}{r}0 & 0 & 2\\1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\end{array}\right)$$und diese nach \(\Phi\) auflösen:$$\Phi=\left(\begin{array}{rrr}-1 & 1 & 4\\1 & 0 & 1\\2 & -1 & -3\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & 2\\1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & 1\\0 & 1 & 0\\-2 & 2 & -1\end{array}\right)$$

zu b) Zur Bestimmung des Bildes der Abbildung rechnen wir die linearen Abhängigkeiten mittels elementarer Spaltenoperationen aus den Spaltenvektoren heraus$$\begin{array}{rrr}-2S_3 & +S_3 & \\\hline2 & -1 & 1\\0 & 1 & 0\\-2 & 2 & -1\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrr} & \vec b_1 & \vec b_2 \\\hline0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\0 & 1 & -1\end{array}$$Es bleiben zwei linear unabhängige Basis-Vektoren übrig:$$\operatorname{Bild}(\Phi)=\left(\;\left(\begin{array}{r}0\\1\\1\end{array}\right)\,,\,\left(\begin{array}{r}1\\0\\-1\end{array}\right)\;\right)$$Der Kern der Abbildung ist die Lösung folgenden Gleichungssystems:$$\begin{array}{rrr|c|l}x & y & z & = &\text{Aktion}\\\hline2 & -1 & 1 & 0 &+Z_2\\0 & 1 & 0 & 0 &\\-2 & 2 & -1 & 0 &+Z_1\\\hline2 & 0 & 1 & 0 &\\0 & 1 & 0 & 0 &\\0 & 1 & 0 & 0 &-Z_2\\\hline2 & 0 & 1 & 0 &\implies2x+z=0\\0 & 1 & 0 & 0 &\implies y=0\\0 & 0 & 0 & 0 &\end{array}$$Stellen wir die letzte Gleichung nach \(z\) um, \(z=-2x\), können wir alle Lösungen angeben:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\0\\-2x\end{pmatrix}=x\left(\begin{array}{r}1\\0\\-2\end{array}\right)$$Damit haben wir den Kern gefunden:$$\operatorname{Kern}(\Phi)=\left(\;\left(\begin{array}{r}1\\0\\-2\end{array}\right)\;\right)$$Die Dimension des Bildes ist also \(2\), die des Kerns ist \(1\).

zu c) Hier brauchen wir nur eine Matrix-Multiplikation:$$\Phi^2=\left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & 1\\0 & 1 & 0\\-2 & 2 & -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & 1\\0 & 1 & 0\\-2 & 2 & -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}2 & -1 & 1\\0 & 1 & 0\\-2 & 2 & -1\end{array}\right)=\Phi$$