Wie bestimme ich die Polynomlösung des DGL-Systems?

Question

Aufgabe:

Gegeben sei das folgende DGL-System

\(y_1' = -\frac{y_1}{t}-\frac{2y_2}{t^3}  \)

\(y_2' = -2ty_1+\frac{y_2}{t}  \)

mit \(y_1(1)=3, \ y_2(1)=1\)

Man bestimme eine Polynomlösung der Form

\(y^1(t)= \begin{bmatrix} a_0 + a_1t + a_2t^2 + a_3t^3  \\ b_0 + b_1t + b_2t^2 + b_3t^3 \end{bmatrix}\)

Problem/Ansatz:

Ich habe versucht, die Lösung in die DGL einzusetzen und die Koeffizienten zu bestimmen, aber blicke da nicht ganz durch. Bräuchte einen Ansatz + Erklärung

Answer 1

Aloha :)

Man könnte den Lösungsansatz:$$y(t)=\binom{a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3}{b_0+b_1t+b_2t^2+b_3t^3}$$

in die DGL einsetzen:$$\binom{a_1+2a_2t+3a_3t^2}{b_1+2b_2t+3b_3t^2}=\binom{-\frac1t}{-2t}(a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3)+\binom{-\frac{2}{t^3}}{\frac1t}(b_0+b_1t+b_2t^2+b_3t^3)$$

und das entsprechend zusammenfassen$$\binom{a_1+2a_2t+3a_3t^2}{b_1+2b_2t+3b_3t^2}=\binom{-\frac{a_0}{t}-a_1-a_2t-a_3t^2}{-2a_0t-2a_1t^2-2a_2t^3-2a_3t^4}+\binom{-\frac{2b_0}{t^3}-\frac{2b_1}{t^2}-\frac{2b_2}{t}-2b_3}{\frac{b_0}t+b_1+b_2t+b_3t^2}$$$$\binom{a_1+2a_2t+3a_3t^2}{b_1+2b_2t+3b_3t^2 }=\binom{-\frac{a_0}{t}-a_1-a_2t-a_3t^2-\frac{2b_0}{t^3}-\frac{2b_1}{t^2}-\frac{2b_2}{t}-2b_3}{-2a_0t-2a_1t^2-2a_2t^3-2a_3t^4+\frac{b_0}t+b_1+b_2t+b_3t^2}$$$$\binom{a_1+2a_2t+3a_3t^2}{b_1+2b_2t+3b_3t^2 }=\binom{-\frac{2b_0}{t^3}-\frac{2b_1}{t^2}-\frac{a_0+2b_2}{t}-(a_1+2b_3)-a_2t-a_3t^2}{\frac{b_0}t+b_1+(b_2-2a_0)t+(b_3-2a_1)t^2-2a_2t^3-2a_3t^4}$$Koeffizientenvergleich liefert sofort vier Nullen$$b_0=0\;;\;b_1=0\;;\;a_2=0\;;\;a_3=0$$Übrig bleibt dann:$$\binom{a_1}{2b_2t+3b_3t^2 }=\binom{-\frac{a_0+2b_2}{t}-(a_1+2b_3)}{(b_2-2a_0)t+(b_3-2a_1)t^2}$$Erneuter Koeffizientenvergleich liefert vier Gleichungen:$$a_0+2b_2=0\implies b_2=-\frac12a_0$$$$a_1=-(a_1+2b_3)\implies a_1=-a_1-2b_3\implies b_3=-a_1$$$$2b_2=b_2-2a_0\implies b_2=-2a_0$$$$3b_3=b_3-2a_1\implies 2b_3=-2a_1\implies b_3=-a_1$$Offenbar sind auch \(a_0=b_2=0\) und es bleiben als Lösungen übrig:$$y(t)=\binom{ct}{-ct^3}\quad;\quad c\in\mathbb R$$