Taylorpolynom einer Funktion mit 3 Variablen

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion $f(x, y, z)=9 \cdot z^{4}+3 \cdot e^{-2 \cdot\left(y^{2}+x^{2}\right)}$. Das Ziel dieser Aufgabe ist es, das Taylor-Polynom 2. Grades von $f$ zu bestimmen.
Berechnen Sie zunächst die folgenden partiellen Ableitungen:
$\left(D_{i}\right.$ steht für $\frac{\partial}{\partial_{i}}$ und $D_{i j}$ steht für $\left.\frac{\partial^{2}}{\partial_{j} \partial_{i}}\right)$
$D_{x} f=-12 x \mathrm{e}^{-2\left(x^{2}+y^{2}\right)}$
$D_{y} f=-12 y \mathrm{e}^{-2\left(y^{2}+x^{2}\right)}$
$D_{z} f=36 z^{3}$
$D_{x x} f=\left(48 x^{2}-12\right) \mathrm{e}^{-2 x^{2}-2 y^{2}}$
$D_{y y} f=\left(48 y^{2}-12\right) \mathrm{e}^{-2 y^{2}-2 x^{2}}$
$D_{z z} f=108 z^{2}$
$D_{x y} f=48 x y \mathrm{e}^{-2\left(y^{2}+x^{2}\right)}$
$D_{x z} f=0$
$D_{y z} f=0$

Das habe ich hinbekommen.

Problem/Ansatz:

Geben Sie außerdem das Taylor-Polynom zweiten Grades von $f$ um den Punkt $(0,0,1)$ an:
$$f \approx$$

Hier fällt es mir schwer, denn man muss da irgendwie sowas:

$$f(x, y, z)=\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(x-a)^{n} \cdot(y-b)^{j} \cdot(z-c)^{k}}{n ! \cdot j ! \cdot k !} \cdot\left[\frac{\partial^{n}}{\partial x^{n}} \frac{\partial^{j}}{\partial y^{j}} \frac{\partial^{k}}{\partial z^{k}} f(x, y, z)\right]_{(x, y, z)=(a, b, c))}$$

Vielen Dank und freundliche Grüße Simplex

Comments

vgl. https://www.mathelounge.de/348070/taylorpolynom-ausrechnen

---

Vielen Dank!

Answer 1

Aloha :)

Wir sollen für die Funktion$$f(x;y;z)=9z^4+3e^{-2(x^2+y^2)}=9z^4+3\cdot e^{-2x^2}\cdot e^{-2y^2}$$das Taylorpolynom 2-ter Ordnung um den Punkt $(0;0;1)$ herum bestimmen:$$z^4=(\;1+(z-1)\;)^4=1+4(z-1)+6(z-1)^2+O(\,(z-1)^3\,)$$$$e^{-2x^2}=1-2x^2+O(x^4)$$$$e^{-2y^2}=1-2y^2+O(y^4)$$Wir brauchen nur alle Terme bis zur 2-ten Ordnung zu berücksichtigen:$$f(x;y;z)\approx9\cdot(\;1+4(z-1)+6(z-1)^2\;)+3(1-2x^2)(1-2y^2)$$$$\phantom{f(x;y;z)}=9+36(z-1)+54(z-1)^2+3(1-2x^2-2y^2+\cancel{4x^2y^2})$$Der durchgestrichene Term ist von 4-ter Ordnung und wird daher nicht benötigt:$$f(x;y;z)\approx12+36(z-1)+54(z-1)^2-6(x^2+y^2)$$