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Hallo, kann mir jemand bitte einen Ansatz geben, wie ich hier vorgehen muss?

Sei V=ℝ[x]≤2 und V→V (auf dem Pfeil steht f) eine ℝ-lineare Abbildung, deren Abbildungsmatrix in der Basis B=(1,x,x2)

[f]BB=

001
010
100

ist. Bestimme die Abbildubgsmatrix von f in der Basis C=(3x2+2x+1,x2+3x+2,2x2+x+3)

Muss ich jetzt mithilfe von den Vektoren von [f] die Vektoren C aufstellen?

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Hallo,

hier hilft die Basistransformationsformel: [f]CC=([idBC])1[f]BB[id]BC,[f]_C^C=([\operatorname{id}^C_B])^{-1} \cdot [f]_B^B\cdot [\operatorname{id}]^C_B, wobei [id]BC=(Bid(c1),Bid(c2),Bid(c3))[\operatorname{id}]^C_B=(_B\operatorname{id}(c_1),_B\operatorname{id}(c_2), _B\operatorname{id}(c_3)).

D. h. du musst die Koordinantenvektor bzgl. BB berechnen:Bid(3x2+2x+1)=(123)Bid(x2+3x+2)=(231)Bid(2x2+x+3)=(312)_B\operatorname{id}(3x^2+2x+1)=\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} \newline \newline _B\operatorname{id}(x^2+3x+2)=\begin{pmatrix} 2\\3\\1 \end{pmatrix} \newline \newline _B\operatorname{id}(2x^2+x+3)=\begin{pmatrix} 3\\1\\2 \end{pmatrix}

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Ich habe folgende Abbildungsmatrix raus:

[f]CB=

312
231
123

Ist das richtig?

Suchst du nicht [f]CC[f]_C^C?

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Aloha :)

Die Abbildungsmatrix bezüglich der Standardbasis B=(1;x;x2)B=(1;x;x^2) lautet:B[f]B=(001010100){_B}[f]_B=\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\end{array}\right)Da die Basis C=(1+2x+3x2;2+3x+x2;3+x+2x2)C=(1+2x+3x^2;2+3x+x^2;3+x+2x^2) bezüglich der Standardbasis BB angegeben ist, kennen wir die Transformationsmatrix von CC nach BB:BidC=(123231312){_B}\mathbf{id}_C=\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3\\2 & 3 & 1\\3 & 1 & 2\end{array}\right)

Damit können wir die Abbildungsmatrix von ff bezüglich der Basis CC angeben:C[f]C=CidBB[f]BBidC=(BidC)1B[f]BBidC{_C}[f]_C={_C}\mathbf{id}_B\cdot{_B}[f]_B\cdot{_B}\mathbf{id}_C=\left({_B}\mathbf{id}_C\right)^{-1}\cdot{_B}[f]_B\cdot{_B}\mathbf{id}_CC[f]C=(123231312)1(001010100)(123231312)=(132323232313231323)\phantom{{_C}[f]_C}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3\\2 & 3 & 1\\3 & 1 & 2\end{array}\right)^{-1}\cdot\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3\\2 & 3 & 1\\3 & 1 & 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}-\frac13 & \frac23 & \frac23\\[1ex]\frac23 & \frac23 & -\frac13\\[1ex]\frac23 & -\frac13 & \frac23\end{array}\right)

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Tut mir leid, für die späte Antwort. Auf jeden Fall bedanke ich mich sehr !

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