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Aufgabe:

Untersuchen Sie jeweils, ob die Funktion stetig, gleichmäßig stetig sowie lipschitzstetig ist.

Zum Beispiel:   f1 : ℝ → ℝ, x ↦ x3,


Problem/Ansatz:

Wie soll man auf diese Aufgaben losgehen, was soll man da rechnen bzw. untersuchen? Danke vorab!

Avatar von

Soll das \( f(x) = x^3 \) heissen?

Ja sorry, hab es korrigiert.

2 Antworten

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Hallo

Die Definition von stetig, gleichmäßig stetig und Lipschitzzstetig aufschreiben und eins nach dem anderen zeigen.

So aufgaben sollen immer zeigen, dass du mit Definitionen umgehen kannst.

Gruß lul

Avatar von 106 k 🚀
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Stetigkeit

$$ | x^3 - x_0^3 | = | x - x_0 | \cdot | x^2 -x x_0 + x_0^2 | \le | x - x_0 | \cdot \left( | x^2 | + | x_0 | \cdot | x | + | x_0^2 | \right) $$ falls \( | x - x_0 | \le \delta < 1 \) gilt folgt

$$ | x^3 - x_0^3 | \le 3 ( |x_0| + 1)^2 \delta   $$

und mit $$ \delta = \min{ \left ( 1, \frac{ \epsilon }{ 3 ( |x_0|+1)^2 } \right ) } $$ folgt die Stetigkeit.

Gleichmäßige Stetigkeit

Angenommen es gibt ein \( \delta > 0 \) s.d. für alle \( x_1, x_2 \in \mathbb{R} \) mit \( | x_1 - x_2 | < \delta \) $$ | x_1^3 -x_2^3 | < \epsilon $$ gilt.

Dann wähle \( x_1 = x_2 + \frac{\delta}{2} \) dann folgt

$$ \left| \left( x_2 + \frac{\delta}{2} \right)^3 - x_2^3 \right| < \epsilon $$

daraus folgt

$$ \delta \left| \frac{3}{2} x_2^2 +\frac{3}{4} x_2 \delta + \frac{\delta^2}{8} \right| < \epsilon $$ was ein Widerspruch ist, wenn \( x_2 \) genügend groß gewählt wird.

Lipschitzstetigkeit

Folgt direkt aus dem Mittelwertsatz, weil \( f(x) = x^3 \) differenzierbar ist.

Avatar von 39 k

"Lipschitzstetigkeit
Folgt direkt"

Wäre missverständlich, weil f nicht Lipschitz-stetig ist.

Gilt nur auf einem Kompaktum. Danke für die Korrektur.

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