Untersuchen Sie jeweils, ob die Funktion stetig, gleichmäßig stetig sowie lipschitzstetig ist.

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie jeweils, ob die Funktion stetig, gleichmäßig stetig sowie lipschitzstetig ist.

Zum Beispiel:   f₁ : ℝ → ℝ, x ↦ x³,

Problem/Ansatz:

Wie soll man auf diese Aufgaben losgehen, was soll man da rechnen bzw. untersuchen? Danke vorab!

Comments

Soll das $f(x) = x^3$ heissen?

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Ja sorry, hab es korrigiert.

Answer 1

Hallo

Die Definition von stetig, gleichmäßig stetig und Lipschitzzstetig aufschreiben und eins nach dem anderen zeigen.

So aufgaben sollen immer zeigen, dass du mit Definitionen umgehen kannst.

Gruß lul

Answer 2

Stetigkeit

$$| x^3 - x_0^3 | = | x - x_0 | \cdot | x^2 -x x_0 + x_0^2 | \le | x - x_0 | \cdot \left( | x^2 | + | x_0 | \cdot | x | + | x_0^2 | \right)$$ falls $| x - x_0 | \le \delta < 1$ gilt folgt

$$| x^3 - x_0^3 | \le 3 ( |x_0| + 1)^2 \delta$$

und mit $$\delta = \min{ \left ( 1, \frac{ \epsilon }{ 3 ( |x_0|+1)^2 } \right ) }$$ folgt die Stetigkeit.

Gleichmäßige Stetigkeit

Angenommen es gibt ein $\delta > 0$ s.d. für alle $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ mit $| x_1 - x_2 | < \delta$ $$| x_1^3 -x_2^3 | < \epsilon$$ gilt.

Dann wähle $x_1 = x_2 + \frac{\delta}{2}$ dann folgt

$$\left| \left( x_2 + \frac{\delta}{2} \right)^3 - x_2^3 \right| < \epsilon$$

daraus folgt

$$\delta \left| \frac{3}{2} x_2^2 +\frac{3}{4} x_2 \delta + \frac{\delta^2}{8} \right| < \epsilon$$ was ein Widerspruch ist, wenn $x_2$ genügend groß gewählt wird.

Lipschitzstetigkeit

Folgt direkt aus dem Mittelwertsatz, weil $f(x) = x^3$ differenzierbar ist.

Comments

"Lipschitzstetigkeit
Folgt direkt"

Wäre missverständlich, weil f nicht Lipschitz-stetig ist.

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Gilt nur auf einem Kompaktum. Danke für die Korrektur.