Rekonstruktion einer Funktion des 4. Grades

Question

Aufgabe:

Der Graph einer ganz rationalen Funktion 4. Grades geht durch P(1;1) berührt die x-Achse im Ursprung und hat einen Sattelpunkt bei x=2

Problem/Ansatz:

f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² +dx + e

zu den Eigenschaften:

f(0) = 1 ?

Answer 1

Aloha :)

Der Graph berührt die $x$-Achse im Ursprung, also muss bei $x=0$ eine doppelte Nullstelle vorliegen, d.h. der Funktionsterm enhält den Faktor $x^2$, daher hat die Funktionsgleichung die Form:$$f(x)=x^2(ax^2+bx+c)=ax^4+bx^3+cx^2$$Der Graph hat einen Sattelpunkt bei $x=2$, also verschwinden dort die ersten beiden Ableitungen:$$f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx\quad\implies\quad 0\stackrel!=f'(2)=32a+12b+4c$$$$f''(x)=12ax^2+6bx+2c\quad\implies\quad 0\stackrel!=f''(2)=48a+12b+2c$$Der Punkt $(1|1)$ liegt auf dem Graphen:$$1=f(1)=a+b+c$$Damit haben wir folgendes Gleichungssystem:$$\begin{pmatrix}8 & 3 & 1\\24 & 6 & 1\\1 & 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$Mit der Lösung:$$a=\frac{3}{11}\quad;\quad b=-\frac{16}{11}\quad;\quad c=\frac{24}{11}$$

Der gesuchte Funktionsterm lauet daher:$$f(x)=\frac{1}{11}\left(3x^4-16x^3+24x^2\right)$$

Plotlux öffnen

f₁(x) = 1/11·(3x⁴-16x³+24x²)P(0|0)P(1|1)P(2|16/11)Zoom: x(-1…3,5) y(-0,5…4)

Comments

An der Stelle x = 2 liegt doch bei diesem Graphen ein Minimum vor oder nicht?

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Danke dir, Arsinoe4... hatte irgendwie einen Blackout. Habe es korrigiert ;)

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Ist nun bei x=2 ein Sattelpunkt?

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Da ist immer noch kein Sattelpunkt zu sehen. Die Steigung an der Stelle x = 2 ist nicht Null.

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Es muss doch gelten f'(2) = 0 und f''(2) = 0, da waagerechte Tangente (Sattelpunkt)?

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Hatte irgendwie im Hinterkopf, dass bie $x=2$ eine Nullstelle sein sollte. Aber diese Forderung existierte nur in meinem Kopf, nicht in der Realität...

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Hatte irgendwie im Hinterkopf, dass bie $x=2$ eine Nullstelle sein sollte. Aber diese Forderung existierte nur in meinem Kopf, nicht in der Realität...

.. hast es doch noch gemerkt. Ich hatte den Graphen gerade fertig:$$f\left(x\right)=\frac{1}{11}\left(3x^{4}-16x^{3}+24x^{2}\right)$$

Answer 2

Also du kannst da ein paar Dinge rauslesen:

f(1) = 1

f(0) = 0

f'(2) = 0

f''(2) = 0

Weißt du, wie du nun weiter machen kannst und woher das kommt?

Comments

Eine Bedingung an f fehlt noch.

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Hmm das stimmt. Sehe aus dem Kontext gerade keine weitere, du?

edit: doch natürlich ("berührt die x-Achse")

d.h. f'(0)=0

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$$----

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Ich muss dann diese Eigenschaften in Gleichungen übersetzen

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Richtig, d.h.:

Erste und zweite Ableitung bilden und Gleichungssystem aufstellen.

Was passiert mit deinem e, siehst du da direkt etwas?

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Wenn ich mich nicht irre, müsste e= 0 sein

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Korrekt! Wenn du noch Probleme hast, dann frag hier einfach. Ich oder die anderen helfen dir dann gerne

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Ich habe mir aufgeschrieben, dass man nach dem ''Übersetzen'' ein Additionsverfahren anwenden muss?

Answer 3

Dank den Vorarbeiten nun der Lösungsweg:

f(1) = 1    f(0) = 0   f´(0)=0    f'(2) = 0    f''(2) = 0

f(x)=a*x⁴+b*x³+c*x²+d*x+e

f(1)=a+b*+c+d+e

1.) a+b+c+d+e=1

f(0)=e   

2.)e=0

f´(x)=4a*x³+3b*x²+2c*x+d

f´(0)=d

3.)d=0

f´(2)=4a*2³+3b*2²+2c*2+d=32a+12b+4c

4.)32a+12b+4c=0    8a+3b+c=0

f´´(x)=12a*x²+6b*x+2c

f´´(2)=12a*2²+6b*2+2c=48a+12b+2c

5.)48a+12b+2c=0     24a+6b+c=0

a=$\frac{3}{11}$    b=-$\frac{16}{11}$    c=$\frac{24}{11}$

f(x)=$\frac{3}{11}$ *x^4-$\frac{16}{11}$*x^3+$\frac{24}{11}$*x^2