Wenn R asymmetrisch ist, dann ist R antisymmetrisch

Question

Aufgabe:

Wenn R asymmetrisch ist, dann ist R antisymmetrisch

Problem/Ansatz:

wie kann ich es beweisen

Comments

https://de.wikipedia.org/wiki/Antisymmetrische_Relation

Der Beweis steht sogar auf Wikipedia.

---

hab schon auf wikipedia gesehen ,aber hab nicht ganz verstanden

Answer 1

Die Antisymmetrie-Eigenschaft fordert

$(x,y) \in R \; \wedge (y,x) \in R \;\Rightarrow x=y \quad (*)$.

Wenn $R$ asymmetrisch ist, dann ist die Prämisse

für kein Paar $(x,y)$ erfüllt, d.h. die Prämisse ist falsch,

also die Implikation wahr.

Du kannst das auch so sehen, da der Falll

$(x,y) \in R\;\wedge (y,x) \in R$ nie eintritt bei einer

asymmetrischen Relation, ist die Forderung $(*)$

eine leere Forderung.

Answer 2

Also mal was ausführlicher als Wikipedia.

Sei R eine asymmetrsiche Relation auf einer Menge M

==>  Für alle Paare (x,y) ∈ MxM gilt :

       Wenn (x,y) ∈ R , dann (y,x) ∉ R.

Es gibt also kein Paar (x,y) ∈ MxM

für welches gilt (x,y) ∈ R und  (y,x) ∈ R.

Dann ist also (x,y) ∈ R und (y,x) ∈ R immer falsch.

Eine Folgerungsaussage mit falscher Praemisse

ist aber immer wahr, also auch die Aussage:

Für alle (x,y) ∈ MxM gilt

(x,y) ∈ R und (y,x) ∈ R =>  x=y .