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Aufgabe: Nullstelle ermitteln und Fläche

f(x)= -3/4 (x-3)^2+4


Problem/Ansatz:

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$$ f(x) = -\dfrac{3}{4}\cdot\left(x-3\right)^{2}+4  $$ Verwende den Ansatz \(f(x)=0\) und vermeide unnötiges Ausmultiplizieren!

von 23 k

Kannst du mir bitte die Lösung geben, ich checke das so nicht

Ich kann das nicht…

$$ \begin{aligned} f(x) &= 0 \\ -\dfrac{3}{4}\cdot\left(x-3\right)^{2}+4 &= 0\quad\vert-4 \\ -\dfrac{3}{4}\cdot\left(x-3\right)^{2} &= -4\quad\vert\div\left(-\dfrac{3}{4}\right) \\ \left(x-3\right)^{2} &= \dfrac{16}{3}\quad\vert\pm\sqrt{()} \\ x-3 &= \pm\dfrac{4}{\sqrt{3}}\quad\vert+3 \\ x &= 3\pm\dfrac{4}{\sqrt{3}}. \end{aligned} $$

Vielen vielen Dank, ich habe noch eine Frage.

Wenn ich die Fläche für diese Gleichung ermitteln möchte mache ich das jetzt mit dem integral richtig? Und könntest du mir dafür auch einen kleine Übersicht machen zum Verständnis ich bin mir nur nicht sicher welche Gleichung ich für das integral nehmen muss deswegen…

Um die Einschlussfläche der Parabel mit der x-Achse zu berechnen, kann man den Hauptsatz benutzen und benötigt dann eine Stammfunktion von f. Zu $$ f(x) = -\dfrac{3}{4}\cdot\left(x-3\right)^{2}+4  $$ ist, wie sich durch Ableiten leicht bestätigen lässt, eine Stammfunktion $$ F(x) = -\dfrac{1}{4}\cdot\left(x-3\right)^{3}+4\cdot x  $$ Dazu muss die Klammer nicht aufgelöst werden.

Da f im Inneren ihres Nullstellenintervalls positiv ist, ist der Inhalt der Einschlussfläche nun einfach die Differenz der Stammfunktionswerte. Zudem ist die Parabel symmetrisch, so dass gilt: $$\begin{aligned} A &= F\left(3+\dfrac{4}{\sqrt{3}}\right)-F\left(3-\dfrac{4}{\sqrt{3}}\right) \\ &= 2\cdot\left(F\left(3+\dfrac{4}{\sqrt{3}}\right)-F\left(3\right)\right) \\ &= \dots \end{aligned}$$

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ausmultiplizieren und dann nach x auflösen :)

Gibt es dabei Probleme? Wenn ja, welche?

von 28 k

Um ehrlich zu sein habe ich bei der ganzen Aufgabe Probleme, also ich weiß irgendwie es trotzdem nicht, ich checke erst wenn ich die Lösungen vor mir habe…

Also Lösung mit Erklärung

Na dann mach es doch so wie ich geschrieben habe. Wenn Du dann Deinen Lösungsversuch einstellst, wird Dir jemand zielgerichtet weiterhelfen können.

Ja ich versuche es mal ^^

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f (x) =-3/4 * ( x-3)^2 + 4
Es handelt sich um eine nach unten geöffnete
Parabel mit den Nullstellen
x = 0.69
und
x= 5.31

zuerst die Funktion ausmultiplizieren
dann die Stammfunktion bilden
S = ( - x^3 + 9*x^2 - 11x ) / 4

Dann S zwischen 0.69 und 5.31 berechnen

( - 5.31^3 + 9 *5.31^2 - 11 *5.31 ) / 4 minus
( - 0.69^3 + 9 *0.69^2 - 11 *0.69 ) / 4

-12.32

Flächen werden immer als positiv angesehen also
12.32

von 120 k 🚀

Hallo vielen dank, Ich habe auch für mich gerechnet gehabt und kam auf 10,5 FE.

Du hast nach 2 stellen nach dem Komma gerundet richtig? Ich habe nach 5 stellen gerundet habe glaube deswegen jetzt was anderes raus. Aber der Rechenweg und alles habe ich berücksichtigt und habe es auch so. Das ist nicht schlimm oder?

Es handelt sich um eine nach unten geöffnete
Parabel mit den Nullstellen
x = 0.69
und
x= 5.31

Nehmen wir an, dass das stimmt. Warum ist dann

S zwischen 0.69 und 5.31
(...)
-12.32

negativ?

Hallo WeltundWissen,

Die Integrationsgrenzen hatte ich vertauscht.
Sonst stimmt alles
Auch der Wert 12.31 stimmt.

Meine Rundungen auf 2 Stellen haben
kaum Einfluß auf das Ergebniss.

Hier die Lösung mit meinem Matheprgramm

gm-317.JPG
Frag nach bis alles klar ist.

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