Hallo :-)
Nimm an, es gäbe eine Nullstelle \(z\in \mathbb{C}\setminus{\mathbb{R}}\) für \(\sin(.)\). Dann lässt sich diese Nullstelle durch die folgende Form beschreiben: \(z=a+i\cdot b\) mit \(a\in \mathbb{R}\) und \(b\in \mathbb{R}\setminus{\{0\}}\); der Imaginärteil verschwindet also nicht. Da nun \(z\) nach Annahme eine Nullstelle ist, gilt
$$\begin{aligned}0&=\sin(z)=\sin(a+i\cdot b)=i\cdot \sinh(-i\cdot a+b)\\&=\frac{1}{2}\cdot i\cdot (e^{-i\cdot a+b}-e^{i\cdot a-b}).\end{aligned}$$
Also ist auch damit
$$\begin{aligned} &e^{-i\cdot a+b}=e^{i\cdot a-b}\\\quad &\Leftrightarrow \quad e^{2b}=e^{2\cdot a\cdot i}\\ \quad &\Rightarrow \quad b=(a+\pi\cdot k)\cdot i,\quad k\in \mathbb{Z}. \end{aligned}$$
Dann ist aber \(b\in \mathbb{C}\setminus{\mathbb{R}}\). Das ist ein Widerspruch zur Konstruktion von \(z\) durch
\(z=a+i\cdot b\) mit \(a\in \mathbb{R}\) und \(b\in \mathbb{R}\setminus{\{0\}}\).
Für \(\cos(.)\) geht das analog.
