Fragen zu partieller Integration

Question

Aufgabe:

Lösen sie das folgende Integral mit partieller Integration

∫(e^x * cos^x)dx

Problem/Ansatz:

Meinem Verständnis nach kommt es bei der partiellen Integration darauf an klug sein f' und g zu wählen, sodass nach x Partiellen Integrationen bestimmte Faktoren wegfallen und es somit einfacher ist das Integral zu bilden. Ich verstehe aber nicht wie das hier funktionieren soll, e^x sowie cos^x sind doch unendlich oft integrier-/ableitbar. Für mich macht das keinen Sinn wie ich dieses unbestimmte Integral berechnen soll. Es würde mich sehr freuen wenn mir da jemand weiterhelfen könnte :)

Answer 1

I =  ∫(e^x * cosx)dx mit u=e^x und v=cos x gibt

==>  I = e^x * cos(x) )-   ∫(e^x * (-sin(x)))dx

==>  I = e^x * cos(x) ) + ∫(e^x * sin(x))dx

               nochmal mit u=e^x und v=sin x gibt:

I = e^x * cos(x) ) +  e^x * sin(x) - ∫(e^x * cos(x)dx)dx

also I = e^x * cos(x) ) +  e^x * sin(x) - I

==>  2I = e^x * cos(x) ) +  e^x * sin(x) = e^x( cos(x)+sin(x) )

==>  I = 0,5*e^x( cos(x)+sin(x))

Answer 2

Zur Kontrolle
e^x * ( cos(x) + sin(x) ) / 2
We du dahin kommst weiß ich allerdings nicht.

Comments

Hier liegt eine etwas andere Situation vor: Wende 2-mal partielle Integration an, wobei in beiden Fällen f'(x)=e^x gewählt wird. Du erhältst insgesamt eine Gleichung für das gesuchte Integral.