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Aufgabe:

Wie kann ich den Wert von sin 42°22' finden?

von

Vielleicht soll man nur einen Näherungswert bestimmen?

hallo, eigentlich kann man hier die Strahlensätze anwenden.

Mit Strahlensätzen bekommst du ja gerade mal eine lineare Näherung hin.

Und was sollen die beiden Bezugswerte für die Verwendung einer linearen Näherung sein?

Etwa 42° und 43°?

Bleibt nur noch die Frage, wo du die Sinuswerte dafür herbekommen willst.

5 Antworten

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Aus dem Additionstheorem

(1)        \(\cos\left(\alpha\pm\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\)

bekommt man mittels Einsetzen von \(\beta = \alpha\) und Umformen unter Verwendung des trigonmetrischen Pythagoras \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) die Gleichung

        \(\cos\left(2\alpha\right)=2\cos^{2}\alpha-1\),

welche weiter umngeformt werden kann zu

        \(\cos\alpha=\sqrt{\frac{1}{2}\left(\cos\left(2\alpha\right)+1\right)}\)

und schließlich zu

(3)        \(\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1}{2}\left(\cos\alpha+1\right)}\).

Mit dieser Formel kann der Kosinus des halben Winkels berechnet werden, wenn der Kosinus eines Winkels bekannt ist.

Mittels ähnlicher Umformungen bekommt man aus \(\beta=2\alpha\) unter Verwendung von (1) eine Formel

(4)        \(\cos\frac{\alpha}{3}=\dots\)

mit der man den Kosinus eines drittels eines Winkels berechnen kann. Nach dem selben Prinzip findet man eine Formel

(5)        \(\cos\frac{\alpha}{5} = \dots\)

für den Kosinus eines Fünftel eines Winkels.

den Wert von sin 42°22' finden?

Bekanntermaßen ist

(6)        \(\cos 45° = \frac{1}{\sqrt 2}\).

Dabei ist \(45° = 2700'\). Das sind \(2^23^35^2\) Bogenminuten. Mittels (3), (4) und (5) berechnet man aus (6) den Wert von \(\cos 1'\). Mittels (1) bastelt man daraus den Wert von \(\cos 42°22'\). Ergebnis ist ein Term, in dem nur noch natürliche Zahlen, Grundrechenarten und Wurzeln vorkommen.

von 85 k 🚀

Diese Antwort ist zwar (für den schon lange ausgeklinkten) Fragesteller persönlich nutzlos (gleiches trifft auch für meine Antwort zu), aber sie ist schön.

Pluspunkt!

Mittels ähnlicher Umformungen bekommt man aus \(\beta=2\alpha\) unter Verwendung von (1) eine Formel

(4)        \(\cos\frac{\alpha}{3}=\dots\)

mit der man den Kosinus eines drittels eines Winkels berechnen kann.

Wie eine derartige Formel aussehen könnte, hätte ich gerne mal gesehen. Könntest du das bitte vorrechnen?

Wenn es so simpel ist, wie du meinst, warum stellst du dann deine Formel hier nicht ein?

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Es gibt schöne Sinustafeln aus den vergangenen Jahrhunderten.

von 28 k

Also es gibt keinen Weg für den Laien "von Hand"?

Das mit der Tafel ist doch von Hand?

Vermutlich ist mit "ohne Taschenrechner" eigentlich "hilfsmittelfrei" gemeint

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Wandle den Winkel ins Bogenmaß um und verwende die Taylorentwicklung der Sinusfunktion. Eine Restgliedabschätzung sagt dir, wann du die gewünschte Genauigkeit erreicht hast.


Ein Taschenrechner wird nicht zwangsläufig benötigt, die entsprechenden Operationen (schriftliche Multiplikation, Division und Addition) sind auch auf Papier theoretisch möglich.

Wenn du keine anderen Hobbys hast, ist das ein ausgiebiger Zeitvertreib.


PS: Falls du den Kosinus von 42 Grad 22 Minuten bereits kennen solltest, kannst du den Sinus über den trigonometrischen Pythagoras berechnen.

von 38 k
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Im Bereich von 0 bis 45 Grad kann man den Sinus noch recht gut mit einem Taylorpolynom 3. Grades nähern.

T3(x) = x - x^3/6

T3((42 + 22/60)·pi/180) = 0.6720542993

zum Vergleich ein etwas besserer Wert

SIN((42 + 22/60)·pi/180) = 0.6738726575

Die Frage wäre dann wie genau du den Wert brauchst.

von 418 k 🚀

T3((42 + 22/60)·pi/180) = 0.6720542993

Hast du das wie verlangt ohne Taschenrechner ermittelt oder hast du geschummelt ?

Hast du das wie verlangt ohne Taschenrechner ermittelt oder hast du geschummelt ?

Da es per Hand deutlich aufwendiger wäre habe ich geschummelt. Prinzipiell geht es aber auch per Hand. Frag die Ägypter, die haben das alles per Hand rechnen müssen:)

Es ist ja alles eine Frage der Genauigkeit und der Zeit.

Die eigentliche Frage ist doch, was mit "berechnen" gemeint ist.

Wäre die Frage nach dem Sinus von 45° gestellt worden, wäre dann (√2)/2 eine akzeptable Lösung gewesen ? Dann wäre doch die Frage "Wie berechnet man √2" mit "das ist √2" zu beantworten, √2 ist nämlich (ähnlich wie 3/4) keine Rechenaufgabe sondern der Name für eine bestimmte Zahl. Ebenso lautet die Antwort hier "das ist sin(42°22')".

Ob die ollen Ägypter wohl Taylor gehabt haben?

Man könnte auch den Sinus durch eine Tangente bei 45 Grad nähern.

f(x) = SIN'(45°)·(x - 45°) + SIN(45°) = √2/2·x - √2/8·pi + √2/2

f((42 + 22/60)·pi/180) = 0.6746079152

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Hallo,

wie genau soll es denn werden?

eine relativ einfache Möglichkeit besteht darin, einen (Viertel-)Kreis von 10cm Radius zu zeichnen, den Winkel \(40°22' \approx 42,4°\) dort im Mittelpunkt einzuzeichnen und den Sinus abzulesen:

blob.png

Die Länge der gelben Strecke ist der Wert des Sinus in Dezimeter. Also$$\sin(42°22') \approx 0,67$$Mein Rechenschieber liefert immerhin noch den Wert von \(\sin(40°22')\approx0,674\)

Gruß Werner

von 42 k

Wie praktikabel ist diese Methode, wenn man auch noch \(\sin(42°21') \) und \(\sin(42°23') \) haben möchte und Unterschiede feststellen will?

Wie praktikabel ist diese Methode, wenn man auch noch \(\sin(42°21') \) und \(\sin(42°23') \) haben möchte und Unterschiede feststellen will?

Ja gar nicht! Aber danach war ja nicht gefragt. Dass ein Winkel mit 42°22' angegeben wird, impliziert nicht zwingend, dass sein Sinus mit ähnlicher Genauigkeit benötigt wird.

Der Fragesteller hat sich zum Thema "gewünschte Genauigkeit" ja noch nicht geäußert.

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