Question

Berechnen Sie die unbestimmten Integrale

$\int\limits_{}^{}$dx/(sinx)ⁿ auf ]0, π[ für  n = 2, 3, 4, 5 und

$\int\limits_{}^{}$dx/(x² + x⁵) auf ]0, ∞[.

Danke im Voraus

Answer 1

Hallo

das zweite mit Partialbruchzerlegung mit Nennern x, x³  x²+1

das erste die beste Hilfe immer https://www.integralrechner.de

Gruß lul

Comments

geht es hier nicht eher um das unbestimmte Integral? Ich hatte die Frage verstanden als solle man das unbestimmte Integral auf dem angegebenen Interval bestimmen

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Was verstehst du den als "unbestimmtes Integral? verwechselst du es mit dem uneigentlichen Integral?

lul

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Nein, ich hatte einen Schreibfehler vermutet, da dass unbestimmte Integral von $\begin{aligned} \frac{1}{\sin(x)^5}\end{aligned}$ recht viel Rechnerei ist.

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Hallo

es ist deutlich das Intervall ohne 0 und pi angegeben.

Gruß lul

Answer 2

Mit der Definition des uneigentlichen Integrals ergibt sich
$\begin{aligned} \int \limits_{0}^{\pi} \frac{1}{\sin (x)^{p}} \mathrm{~d} x=\lim \limits_{\alpha \rightarrow 0^{+}} \int \limits_{\alpha}^{1} \frac{1}{\sin (x)^{p}} \mathrm{~d} x+\lim \limits_{\beta \rightarrow \pi^{-}} \int \limits_{1}^{\beta} \frac{1}{\sin (x)^{p}} \mathrm{~d} x .\end{aligned}$
Unser Ziel ist es, hier das Minorantenkriterium zu verwenden. Wir betrachten die Taylorexpansion von $\sin (x)$ mit Lagrange Restterm um $x=0$ :
$\begin{aligned} \sin (x)=x-\frac{x^{3}}{6}-\frac{\sin (\xi)}{24} x^{4}, \quad x, \xi \in[0,1]\end{aligned}$
wobei wir insbesondere $\sin (x) \leq x$ für $x \in[0,1]$ schliessen. Also haben wir
$\begin{aligned} \frac{1}{x} \leq \frac{1}{\sin (x)} \Longrightarrow \frac{1}{x} \leq \frac{1}{x^{p}} \leq \frac{1}{\sin (x)^{p}}, \quad x \in(0,1] .\end{aligned}$
Wegen
$\begin{aligned} \lim \limits_{\alpha \rightarrow 0} \int \limits_{\alpha}^{1} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\lim \limits_{\alpha \rightarrow 0}-\ln (\alpha)=\infty\end{aligned}$
ergibt sich mittles des Minorantenkriteriums, dass das Integral nicht konvergiert. Den zweiten Teil der Summe der beiden Integrale musst du nun garnich überprüfen, du weisst ja schon, dass es nicht konvergiert.

Im nachhinein habe ich wohl die Frage falsch gedeutet.