Mit der Definition des uneigentlichen Integrals ergibt sich
0∫πsin(x)p1 dx=α→0+limα∫1sin(x)p1 dx+β→π−lim1∫βsin(x)p1 dx.
Unser Ziel ist es, hier das Minorantenkriterium zu verwenden. Wir betrachten die Taylorexpansion von sin(x) mit Lagrange Restterm um x=0 :
sin(x)=x−6x3−24sin(ξ)x4,x,ξ∈[0,1]
wobei wir insbesondere sin(x)≤x für x∈[0,1] schliessen. Also haben wir
x1≤sin(x)1⟹x1≤xp1≤sin(x)p1,x∈(0,1].
Wegen
α→0limα∫1x1 dx=α→0lim−ln(α)=∞
ergibt sich mittles des Minorantenkriteriums, dass das Integral nicht konvergiert. Den zweiten Teil der Summe der beiden Integrale musst du nun garnich überprüfen, du weisst ja schon, dass es nicht konvergiert.
Im nachhinein habe ich wohl die Frage falsch gedeutet.