0 Daumen
659 Aufrufe

Berechnen Sie die unbestimmten Integrale

\int\limits_{}^{} dx/(sinx)n auf ]0, π[ für  n = 2, 3, 4, 5 und

\int\limits_{}^{} dx/(x+ x5) auf ]0, ∞[.


Danke im Voraus

Avatar von

2 Antworten

0 Daumen

Hallo

das zweite mit Partialbruchzerlegung mit Nennern x, x3  x2+1

das erste die beste Hilfe immer https://www.integralrechner.de

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

geht es hier nicht eher um das unbestimmte Integral? Ich hatte die Frage verstanden als solle man das unbestimmte Integral auf dem angegebenen Interval bestimmen

Was verstehst du den als "unbestimmtes Integral? verwechselst du es mit dem uneigentlichen Integral?

lul

Nein, ich hatte einen Schreibfehler vermutet, da dass unbestimmte Integral von 1sin(x)5\begin{aligned} \frac{1}{\sin(x)^5}\end{aligned} recht viel Rechnerei ist.

Hallo

es ist deutlich das Intervall ohne 0 und pi angegeben.

Gruß lul

0 Daumen

Mit der Definition des uneigentlichen Integrals ergibt sich
0π1sin(x)p dx=limα0+α11sin(x)p dx+limβπ1β1sin(x)p dx.\begin{aligned} \int \limits_{0}^{\pi} \frac{1}{\sin (x)^{p}} \mathrm{~d} x=\lim \limits_{\alpha \rightarrow 0^{+}} \int \limits_{\alpha}^{1} \frac{1}{\sin (x)^{p}} \mathrm{~d} x+\lim \limits_{\beta \rightarrow \pi^{-}} \int \limits_{1}^{\beta} \frac{1}{\sin (x)^{p}} \mathrm{~d} x .\end{aligned}
Unser Ziel ist es, hier das Minorantenkriterium zu verwenden. Wir betrachten die Taylorexpansion von sin(x) \sin (x) mit Lagrange Restterm um x=0 x=0 :
sin(x)=xx36sin(ξ)24x4,x,ξ[0,1]\begin{aligned} \sin (x)=x-\frac{x^{3}}{6}-\frac{\sin (\xi)}{24} x^{4}, \quad x, \xi \in[0,1]\end{aligned}
wobei wir insbesondere sin(x)x \sin (x) \leq x für x[0,1] x \in[0,1] schliessen. Also haben wir
1x1sin(x)1x1xp1sin(x)p,x(0,1].\begin{aligned} \frac{1}{x} \leq \frac{1}{\sin (x)} \Longrightarrow \frac{1}{x} \leq \frac{1}{x^{p}} \leq \frac{1}{\sin (x)^{p}}, \quad x \in(0,1] .\end{aligned}
Wegen
limα0α11x dx=limα0ln(α)=\begin{aligned} \lim \limits_{\alpha \rightarrow 0} \int \limits_{\alpha}^{1} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\lim \limits_{\alpha \rightarrow 0}-\ln (\alpha)=\infty\end{aligned}
ergibt sich mittles des Minorantenkriteriums, dass das Integral nicht konvergiert. Den zweiten Teil der Summe der beiden Integrale musst du nun garnich überprüfen, du weisst ja schon, dass es nicht konvergiert.


Im nachhinein habe ich wohl die Frage falsch gedeutet.

Avatar von 4,8 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage