Differentialgleichung x^2*y'=y^2 mit y(1) = 1/2

Question

Differentialgleichungen:

Man betimme eine Funktion \( y(x) \), die der folgenden Differentialleichung nbest Anfangsbedingung genügt.

\( x^{2}+y' = y^2 \) und \( y(1)= \frac{1}{2} \)

Answer 1

Differentialgleichung x²*y'=y²

Ist das nicht ein separierbare Differentialgleichung?

x^2 *(dy/dx) = y^2

dy/y^2 = dx/x^2

y^{-2} dy = x^{-2} dx        |integrieren

- y^{-1} + C = -x^{-1} + D           |nach y auflösen.

-y^{-1} = -x^{-1} + E

y^{-1} = x^{-1} + F

y = 1/(1/x + F)

= 1/ ((1+Fx)/x) = x /(1+Fx)

Ohne Gewähr. Bitte noch kontrollieren. Ist aber eigentlich dasselbe wie: https://www.wolframalpha.com/input/?i=+x%5E2*y%27%3Dy%5E2 wenn man c1 dort neg. nimmt.

x² * y' = y² mit y(1)=1/2

1/2 = 1/(1+F) 

-----> F = 1

y= x/(1 + x)

Comments

Ich habe es versucht nachzuvollziehen, ist dies korrekt? Das am Ende mit y auflösen 1/y= irritiert mich etwas, konnte es nicht verstehen warum dann 1/(1/x+C1) und nicht anderst rum

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Ich gebe der Integrationsvariabeln immer einen neuen Buchstaben, wenn ich sie ändere (z.B. Vorzeichen...).

Dein |-1 dort ist ein

|*(-1)

Das Vorzeichen der Integrationskonstanten spielt keine Rolle mehr, wenn mit y(1) = 1/2 die Konstante dann bestimmt ist.

Answer 2

Also ich hab das auch mal gerechnet:

\( x^{2} \cdot y^{\prime}=y^{2} \quad y(1)=\frac{1}{2} \)
\( y^{2}, \quad \frac{d y}{d x}=y^{2} \quad | \cdot d x \)
$$ \begin{aligned} x^{2} d x &=x^{2} d x | :x^2 \\ d y &=y^{2} \cdot \frac{d x}{x^{2}} | : y^{2} \\ \int \frac{d y}{y^2} &= \int \frac{d x}{x^{2}} \\ -\frac{1}{y} &=-\frac{1}{x}+c \quad | \cdot y \\ -1 &= (\frac{-1}{x} + c) \cdot y \\ y &= \frac{-1}{-\frac{1}{x}+c}\\ y(1) &= \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} &=\frac{-1}{1+c} \\ -1 + c &= -2 \\ c &= 1 \end{aligned} $$
\( \begin{aligned} \Rightarrow y &=\frac{-1}{-\frac{1}{x}-1} \quad |·x \\ y &=\frac{-x}{-1-x} \\ & y=\frac{x}{1+x} \end{aligned} \)