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Aufgabe:

Wieviele Faktoren vom Grad 1, Grad 2, Grad 3 usw. kommen jeweils in der Zerlegung von X24- 1 im Ring F5[X] in irreduzibele Faktoren vor? (Zerlegung muss nicht explizit angegeben werden.)


Eine Nullstelle ist x=1, wenn ich eine Polynomdivision mache (X24-1)/(X-1) erhalte ich (X23+....+X+1)

Die Zweite Nullstelle ist x=-1.

Ich weiß aber nicht so recht, was mir das bringt, kann jemand weiterhlefn?

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Meine Vermutung ist:

4 Faktoren von Grad 1, 10 Faktoren von Grad 2.

Mal sehen, was andere Helfer dazu sagen.

Habe meine Antwort mit der konkreten Zerlegung ergänzt.

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Beste Antwort

Nun, da ich keine Proteste gegen meine Vermutung

vernommen habe, hier meine Argumentation:

Es sei K=F5K=F_5. Der Exponent 24 in dem zu zerlegenden

Polynom P ist "verdächtig":

Ist nämlich L/KL/K eine quadratische Erweiterung, so hat

die multiplikative Gruppe LL^* gerade 25-1=24 Elemente.

Die 24 Elemente 0\neq 0 von LL sind gerade die verschiedenen

Nullstellen 0\neq 0 dieses Polynoms (über LL betrachtet).

Ist nun αL\K\alpha\in L\backslash K, so ist das Minimalpolynom

von μα\mu_{\alpha} über KK vom Grad 2. Da jedes dieser

Minimalpolynome 2 Nullstellen in LL besitzt, gibt es

L\K/2=(255)/2=10|L\backslash K|/2=(25-5)/2=10 verschiedene Minimalpolynome,

die alle Teiler von P sind, d.h.

P besitzt 4 lineare Faktoren (die zu den Nullstellen in K

gehören) und 10 quadratische Faktoren, die zu den nicht

im Grundkörper liegenden Elementpaaren gehören.

---------------------------------------------------

Konkrete Faktorisieung:

Ein quadratisches Polynom X2+aX+bX^2+aX+b ist genau dann

irreduzibel, wenn seine Diskriminante

a24b=a2+ba^2-4b=a^2+b kein Quadrat ist, also

a2+b{2,3}a^2+b\in \{2,3\} ist.

Man prüft leicht nach, dass

M : ={(a,b) :   a2+b{2,3}}=M:=\{(a,b): \; a^2+b\in \{2,3\}\}=

={(0,2),(1,1),(2,3),(3,3),(4,1),(0,3),(1,2),(2,4),(3,4),(4,2)}=\{(0,2),(1,1),(2,3),(3,3),(4,1),(0,3),(1,2),(2,4),(3,4),(4,2)\}

ist. Damit ergibt sich die Zerlegung von P zu

P=i=14(Xi)(a,b)M(X2+aX+b)\prod_{i=1}^4(X-i)\prod_{(a,b)\in M}(X^2+aX+b)

Avatar von 29 k
P besitzt 4 lineare Faktoren (die zu den Nullstellen in K gehören) und 10 quadratische Faktoren

coole Lösung!

Wenn ich das Polynom zerlege, so ist doch x241=(x121)(x12+1)x^{24}-1= (x^{12}-1)(x^{12}+1)Das Polynom x12+1x^{12}+1 ist aber IMHO bereits irreduzibel, d.h,. es gibt kein xF5x \in \mathbb F_5 womit dieses Polynom den Wert 0 annimmt.

Wo ist da mein Denkfehler, bzw. wie passt das zu Deiner Lösung?

Reduzibilität bedeutet nicht, dass eine Nullstelle existiert.

Es kann ja auch irreduzible nichtlineare Faktoren geben.

Bis zum Grad 3 ist deine Denkweise OK, aber bereits

ein Polynom 4-ten Grades muss keine Nullstelle besitzen,

kann aber sehr wohl das Produkt zweier irreduzibler

Polynome 2-ten Grades sein.

Das ist eine "gemeine Denkfalle" ;-)

Gruß ermanus

Reduzibilität bedeutet nicht, dass eine Nullstelle existiert.

Danke für die Info ... das hatte ich schon irgendwie geahnt ;-)

Dass x12+1x^{12}+1 nicht irreduzibel in F5[X]\mathbb F_5[X] ist, sieht man bereits daran,
dass x12+1=x124=(x62)(x6+2)x^{12}+1=x^{12}-4=(x^6-2)(x^6+2) ist.

... sieht man bereits daran,dass x12+1=x124=(x62)(x6+2)x^{12}+1=x^{12}-4=(x^6-2)(x^6+2) ist.

stimmt! da hätte ich auch selber drauf kommen können ;-)

Habe meine Antwort mit der konkreten Zerlegung ergänzt.

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Hallo

22=-1mod 5 also 24=1, 32=-1 also 34=1 42=1 alles mod 5

daraus kannst du die Faktorisierung direkt sehen.

Gruß  lul

Avatar von 108 k 🚀

Hallo lul,

Hast du denn auch 4 Faktoren vom Grad 1

und 10 Faktoren von Grad 2 ?

Wie genau geht man denn dabei vor? könntest du das erklären?

Hallo lul,

das Polynom ist auch durch das irreduzible

X2+X+1X^2+X+1 teilbar, hast du solche Faktoren

auch bedacht?

Auch X2+2X+3X^2+2X+3 sollte ein irreduzibler Faktor sein.

Ein anderes Problem?

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