Nun, da ich keine Proteste gegen meine Vermutung
vernommen habe, hier meine Argumentation:
Es sei K=F5. Der Exponent 24 in dem zu zerlegenden
Polynom P ist "verdächtig":
Ist nämlich L/K eine quadratische Erweiterung, so hat
die multiplikative Gruppe L∗ gerade 25-1=24 Elemente.
Die 24 Elemente =0 von L sind gerade die verschiedenen
Nullstellen =0 dieses Polynoms (über L betrachtet).
Ist nun α∈L\K, so ist das Minimalpolynom
von μα über K vom Grad 2. Da jedes dieser
Minimalpolynome 2 Nullstellen in L besitzt, gibt es
∣L\K∣/2=(25−5)/2=10 verschiedene Minimalpolynome,
die alle Teiler von P sind, d.h.
P besitzt 4 lineare Faktoren (die zu den Nullstellen in K
gehören) und 10 quadratische Faktoren, die zu den nicht
im Grundkörper liegenden Elementpaaren gehören.
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Konkrete Faktorisieung:
Ein quadratisches Polynom X2+aX+b ist genau dann
irreduzibel, wenn seine Diskriminante
a2−4b=a2+b kein Quadrat ist, also
a2+b∈{2,3} ist.
Man prüft leicht nach, dass
M : ={(a,b) : a2+b∈{2,3}}=
={(0,2),(1,1),(2,3),(3,3),(4,1),(0,3),(1,2),(2,4),(3,4),(4,2)}
ist. Damit ergibt sich die Zerlegung von P zu
P=∏i=14(X−i)∏(a,b)∈M(X2+aX+b)