Hallo Zahri,
auf die Gefahr hin, dass Dich eine vierte Antwort verwirrt, antworte ich trotzdem ....
Schau Dir mal das Bild an, welches einen Schnitt der Szene aus Deiner Frage zeigt
Dort findest Du das rechtwinklige Dreieck \(LKT_1\) (gelb). In diesem Dreieck sind zwei Längen bekannt. Das ist die Seite$$|LK|= 50\,\text{cm}$$und der Radius der Kugel$$|KT_1|= 10\,\text{cm}$$Du kennst sicher den Satz des Pythagoras, mit dem man nun die Länge der dritten Seite berechnen kann. Es ist$$\begin{aligned}|LT_1|^2 +|KT_1|^2&= |LK^2|\\|LT_1|^2 + 10^2\text{cm}^2&= 50^2\text{cm}^2\\|LT_1|^2 + 100\,\text{cm}^2&= 2500\,\text{cm}^2&&|\,-100\,\text{cm}^2\\ |LT_1|^2&= 2400\,\text{cm}^2&&|\,\sqrt{}\\|LT_1|&=\sqrt{2400}\,\text{cm} \approx 48,99\,\text{cm}\end{aligned}$$Wir merken uns nun das Verhältnis der kleinen Kathete \(|KT_1|\) des Dreiecks zur langen Kathete \(|LT_1|\):$$\frac{|KT_1|}{|LT_1|} = \frac{10}{\sqrt{2400}}$$Der Zahlenwert selbst spielt keine Rolle, das kommt gleich.
Das nächste Bild zeigt nun ein weiteres rechtwinkliges Dreieck
Links ist die Strecke \(MC\) der halbe Durchmesser \(d/2\) des Kugelschattens (braun). Dieses neue Dreieck sieht ganz ähnlich aus, wie das im ersten Bild, nur größer. Und es ist auch 'ähnlich' zum keineren Dreieck im mathematischen Sinne, weil die Winkel in diesem Dreieck alle genauso groß sind wie oben.
Das bedeutet, dass alle Verhältnisse von Seiten in diesem Dreieck genauso groß sind wie oben. Wir betrachten wieder das Verhältnis der kleineren Kathete \(|MC|\) zur längeren Kathete \(|LM|\)$$\frac{|MC|}{|LM|}=\frac{d/2}{50\,\text{cm} + 80\,\,\text{cm}}=\frac{d/2}{130\,\text{cm}}=\frac{d}{260\,\text{cm}}$$Wir kennen aber bereits diese Verhältnis von oben - und das ist doch das gleiche, weil die Dreiecke ähnlich sind. Also ist doch$$\begin{aligned}\frac{d}{260\,\text{cm}} &= \frac{10}{\sqrt{2400}}\end{aligned}$$und dies ist eine Gleichung mit dem unbekannten Durchmesser \(d\) des Kugelschattens und die kann man lösen$$\begin{aligned}\frac{d}{260\,\text{cm}} &= \frac{10}{\sqrt{2400}} &&|\,\sqrt{2400}=\sqrt{100}\cdot\sqrt{24}\\ \frac{d}{260\,\text{cm}} &= \frac{10}{10\cdot \sqrt{24}}\\ \frac{d}{260\,\text{cm}} &= \frac{1}{\sqrt{24}} &&|\, \cdot 260\,\text{cm} \\ d &= \frac{260}{\sqrt{24}}\text{cm}&&|\,\sqrt{24}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{6}\\ d &= \frac{260}{2\cdot\sqrt{6}}\text{cm}\\ d &= \frac{130}{\sqrt{6}}\text{cm}\\d &\approx 53,07\,\text{cm}\end{aligned}$$Gruß Werner
