Wie stelle ich diese Reihe mithilfe der geometrischen Reihe auf?

Question

 $f(z)=\frac{1}{2 z+5}$

Hallo zusammen, ich soll diese Reihe im Entwicklungspunkt z=0 entwickeln. Wie stelle ich diese Reihe mithilfe der geometrischen Reihe auf?

Und wie bestimme ich dann den Wert von z, für den die Reihe konvergiert?

Answer 1

Die Summenformel der geometrischen Reihe mit Quotient q lautet

s = 1 / 1-q . Da musst du nur deinen Bruch in diese Form bringen

1/(2z+5) = 1/(5+2z) = (1/5) * 1/ (1 +0,4z) = (1/5) * 1/ (1 - (-0,4z) )

Also hast du die Reihe mit q=-0,4z und den Faktor 1/5 davor

$\frac{1}{5}\sum \limits_{k=0}^{\infty} ( \frac{-2z}{5})^k = \frac{1}{5}\sum \limits_{k=0}^{\infty} ( \frac{-2}{5})^k \cdot z^k= \frac{1}{5}\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-2)^k}{5^k} \cdot z^k = \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-2)^k}{5^{k+1}} \cdot z^k$

Comments

und wie bestimme ich jetzt noch den Wert für z, für den die Reihe konvergiert?

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geometrische Reihe konvergiert für |q| < 1.

Also  -1 < 0,4z < 1.

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Okay, und woran sehe ich das, bzw. wie bestimme ich das allgemein?

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Mit der Summenformel 1 / (1-q) vergleichen,

zeigt q=-0,4z

Answer 2

 $f(z)=\frac{1}{2 z+5} =\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{1-(-0,4z)}$.

Den Faktor $\frac{1}{5}$ kannst du vor die Summe ziehen. Setzt nun noch -0,4z=q, damit hast du den Term aus der Summenformel der geometrischen Reihe.

Comments

Danke soweit schonmal. Wie mache ich es aber bei der Funktion:

$\frac{1}{z+1}-\frac{1}{2(1+z / 2)}$ Theoretisch bekomme ich ja nach deiner Lösung hier quasi zwei Gültigkeitsbereiche

1. Term: $|z|<1$

2. Term: $|z|<2$

nehme ich von den beiden dann den kleineren Wert?

Answer 3

Die geoemetrische Reihe ist $\sum_{n=0}^{\infty}q^n=\frac{1}{1-q};|q|<1$; also: