Taylorentwicklung (wie geht man vor?)

Question

Wenn ich eine Aufgabe wie: $\frac{2}{3}$x = sin(x) habe und eine Taylorentwicklung bis zur zweiten Potenz gefordert wird. Wie gehe ich vor ?

Entwicklungspunkt x=$\frac{π}{2}$

Comments

Meinst du die Taylorentwicklung von $\sin(x)-2/3x$ ?
Denn, was die Taylorentwicklung einer Gleichung sein soll,
ist mir nicht ganz klar.

Sorry, das sollte eigentlich ein Kommentar werden ...

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Das sollte nicht Taylorentwicklung einer Gleichung heißen! Keine Ahnung warum das da jetzt steht.

Die Aufgabe lautet weiterhin $\frac{2}{3}$x = sin(x)

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Keine Ahnung warum das da jetzt steht.

Du hast in die Aufgabe geschrieben:

eine Taylorentwicklung bis zur zweiten Potenz gefordert wird ... Enwicklungspunkt = ...

Willst Du also gar nichts mit Taylor, sondern einfach diese Gleichung gelöst haben?

Answer 1

Da die zweite, vierte, sechste usw. Potenz der Taylorentwichlung alle mit dem Faktor 0 versehen sind,

heißt "bis zum zweiten Grad" hier einfach nur, dass du den linearen Anteil bestimmen sollst.

Die Tangente im Entwicklungspunkt hat nun ausgerechnet noch den Anstieg 0 und somit die lineare Gleichung y=0x+1.

Seltsame Aufgabe.

Comments

Da die zweite, vierte, sechste usw. Potenz der Taylorentwichlung alle mit dem Faktor 0 versehen sind, ...

Nicht, wenn der Entwicklungspunkt $x=\pi/2$ ist!

Answer 2

Hallo :-)

Mache für $f(x):=\sin(x)$ eine Taylorapproximation bis zum Grad 2, um den Entwicklungspunkt $x_0=\frac{\pi}{2}$, also

$$T_2(x;x_0):=f(x_0)+f'(x_0)\cdot (x-x_0)+\frac{1}{2}\cdot f''(x_0)\cdot (x-x_0)^2$$

und löse damit anschließend die Originalgleichung $\frac{2}{3}\cdot x=\sin(x)$ mit der ,,Näherungsgleichung" $\frac{2}{3}\cdot x=T_2(x;x_0)$.

Der Sinn dieser Aufgabe wird wohl sein, dass du siehst, dass die Gleichung $\frac{2}{3}\cdot x=\sin(x)$ nicht elementar lösbar ist, sondern die Lösungen (wenn es denn welche gibt) nur noch näherungsweise angegeben werden können. Ein möglicher Lösungsweg ist zb die Taylorapproximation auf bestimmte Funktionsterme anzuwenden. Dabei bietet sich eine quadratische Näherung an, weil sich quadratische Gleichungen am Ende immernoch ganz einfach lösen lassen. Bei Polynomausdrücken dritten und vierten Grades (sehen hässlich aus) gibt es zwar auch noch allgemeine Lösungsformeln, aber darüber hast du in der Regel keine Chance mehr Lösungsformeln zu finden.

Comments

$T_2(x;x_0):=f(x_0)+f'(x_0)\cdot (x-x_0)+\frac{1}{2}{\color{red}f''(x_0)}\cdot (x-x_0)^2$

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Korrigiert :D