Aloha :)
Beide Halbzylinder haben denselben Radius \(r=3\). Für den einen Zylinder legen wir die Symmetrieachse wie gewohnt auf die \(z\)-Achse. Für den anderen legen wir die Symmetrieachse auf die \(y\)-Achse. Dann müssen alle Punkte \((x;y;z)\) im Volumen die beiden folgenden Bedingungen erfüllen:$$x^2+y^2\le r^2\quad;\quad x^2+z^2\le r^2$$Wegen der Symmetrie können wir uns auf den ersten Oktanden beschränken \(x,y,z\ge0\), müssen aber unser Ergebnis am Ende mit \(4\) multiplizieren.
Wir wählen nun einen Punkt aus, der alle Bedingungen erfüllt, also im Schnittvolumen der beiden Halbzylinder und im ersten Oktanden liegt:
1) Den Wert für \(x\) können wir frei aus \([0;r]\) wählen.
2) Wegen \(x^2+y^2\le r^2\) können wir dann \(y\) nur noch aus \(\left[0;\sqrt{r^2-x^2}\right]\) wählen.
3) Wegen \(x^2+z^2\le r^2\) können wir auch \(z\) nur noch aus \(\left[0;\sqrt{r^2-x^2}\right]\) wählen.
Damit können wir das Integral für das gesamte Volumen formulieren:$$V=4\int\limits_{x=0}^r\left(\int\limits_{y=0}^{\sqrt{r^2-x^2}}\!\!\!\!dy\int\limits_{z=0}^{\sqrt{r^2-x^2}}\!\!\!\!dz\right)dx=4\int\limits_{x=0}^r(r^2-x^2)\,dx=4\left[r^2x-\frac{x^3}{3}\right]_{x=0}^r\!\!\!=\frac83\,r^3$$
Speziell für den Fall hier, mit \(r=3\), beträgt das Volumen \(V=72\) Volumeneinheiten.
