Aufgabe:
Bestimmen Sie die Extremwerte der Funktion f (x, y, z) = z unter den Nebenbedingungen x^2 + y^2 + z^2 − 4x + 6y + 8z = 0 und x + y + z = 0. Wie sieht die durch die Nebenbedingungen beschriebene Teilmenge des R^3 aus?
Problem/Ansatz:
Hallo! ich habe ein kleines Problem bei einer Aufgabenstellung. Und zwar hatte ich vor, die Aufgabenstellung mithilfe der LaGrange Methode zu machen. Sowohl in der Vorlesung als auch im Internet finde ich aber nur Beispiele, mit nur einer Nebenbedingung. Bei diesem Beispiel (mit 2 NB) schaffe ich es aber nicht das Gleichungssystem für die Extremstellen zu lösen.
Hat vielleicht jemand einen Tipp wie dies lösbar ist ohne dass es vielleicht übertrieben kompliziert wird?
Falls ja, danke schon mal :)
Weiter als bis hierhin komme ich leider noch nicht:
LaGrange:
\( \begin{array}{l} \mathcal{L}\left(x, y_{1} z_{1} \lambda_{1}, \lambda_{2}\right)=z+\lambda_{1}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-4x+6 y+8 z\right) \\ +\lambda_{2}(x+y+z) \\ Partielle Ableitungen: \mathcal{L} x=2 x \lambda_{1}-4 \lambda_{1}+\lambda_{2}=0 \\ \mathcal{L} y=2 y \lambda_{1}+6 \lambda_{1}+\lambda_{2}=0 \\ \mathcal{L} z=2 z \lambda_{1}+8 \lambda_{1}+\lambda_{2}=0 \\ \mathcal{L} \lambda_{1}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 x+6 y+8 z=0 \\ \mathcal{L} \lambda_{2}=x+y+z=0 \end{array} \)
