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In einem Halbkreis HK um M mit dem Radius r und dem Durchmesser AE liegt ein Drachen ABCD mit B auf AE sowie C und D auf HK. Die kürzere Diagonale BD habe die Länge r. in welchem Verhältnis teilt B die Strecke ME?

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Ich komme auf ein Verhältnis von (1 + √5) / 2

Das wäre eine Teilung im Verhältnis des goldenen Schnitts.

Interessant!

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Meine Gleichungen zur Herleitungen waren:

x2 + y2 = r2
r + 2·x = √((r + x)2 + y2) --> x = r·(√5/4 - 1/4)

Das Teilerverhältnis ist dann

Φ = 2·x / (r - 2·x) = (√5 + 1)/2

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Hallo Roland,

es gibt zwei Lösungen. Die triviale besteht darin, den Punkt BB in den Punkt MM zu schieben, wodurch dann eine Raute AMCDAMCD entsteht, die sich aus zwei gleichseitigen Dreiecken zusammen setzt.

Bei der zweiten Lösung heißt es: finde das Fünfeck! Dazu betrachte ich einen beliebigen Drachen mit den Ecken CC und DD auf dem Halbkreis und BB auf AEAE

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Die Strecken MA|MA|, MD|MD| und MC|MC| (rot) haben alle die Länge rr. Da der Drache zu seiner Diagonalen ACAC symmetrisch ist, müssen auch die Strecken MA|M'A|, MB|M'B| und MCM'C (grün) alle gleich lang und so lang wie rr sein.

Weiter ist AMCMAMCM' eine Raute und somit immer MCM'C parallel zu AEAE.

Wenn nun zusätzlich die Strecke BD=r|BD|=r sein soll ...

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... so muss das Dreieck MBD\triangle MBD ein gleichschenkliges sein und somit ist dessen Symmetrieachse (schwarz Strich-Punkt durch DD) auch die Symmetrieachse des Fünfecks MBCDMMBCDM', da alle Diagonalen gleich lang sind und wegen MCMBM'C \parallel MB.

Und da die Seiten BC|BC| und CD|CD| ebenfalls gleich lang sind, muss es sich bei MBCDMMBCDM' um ein regelmäßiges Fünfeck handeln! Also giltMCMB=Φ    MBBE=Φ=12(1+5)\frac{|MC|}{|MB|} = \Phi \implies \frac{|MB|}{|BE|} = \Phi = \frac12(1+\sqrt 5)Gruß Werner

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Es wäre etwas besser zu schreiben B liegt auf der Strecke ME zwischen M und E und nicht B liegt auf der Strecke AE.

Dann fällt die Triviallösung B = M weg. Allerdings lässt sich für B = M auch kein Teilerverhältnis angeben.

Allerdings lässt sich für B = M auch kein Teilerverhältnis angeben.

B=M    MBBE=0B = M \implies \frac{|MB|}{|BE|} = 0und warum soll der Ausdruck 'auf der Strecke' die Endpunkte der Strecke ausschließen?

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