Begründen Sie - ohne Rechnung -, dass der Punkt D (7; -9; 3) nicht in der Ebene liegen kann.

Question

Gegeben sind die Punkte A (2; 1; 3), B (4; 5; 7), C (3; 6; 8), die die Ebene E festlegen.

Begründen Sie - ohne Rechnung -, dass der Punkt D (7; -9; 3) nicht in der Ebene liegen kann.

Das Ganze rechnerisch zu lösen wäre ja kein großes Problem, Ebenengleichung aufstellen und Punkt prüfen.

Jetzt muss es hier aber einen relativ einfachen Weg geben, dass ohne Rechnung zu machen. Vielleicht übersehe ich etwas, wäre toll wenn mir jemand helfen könnte.

Danke! :)

Answer 1

Hallo,

Zeichne die Y- und Z- (bzw. \(x_2-\) und \(x_3-\)) Koordinaten der Punkte in ein Koordinatensystem ein.

So liegen die drei Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) auf einer Geraden. Das bedeutet, dass die Ebene, in der die drei Punkte liegen, senkrecht auf der \(x_2x_3-\)Ebene steht. Und das bedeutet auch, dass auch jeder andere Punkt der Ebene auf dieser Geraden liegen muss! Da \(D\) deutlich daneben liegt, liegt \(D\) auch nicht in dieser Ebene.

Gruß Werner

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...................................................gelöscht

Answer 2

Anschaulich: A,B,C liegen alle im Oktanten x,y,z>0.

Wenn D in der von den drei Punkten aufgespannten Ebene läge,

müssten entweder die x-, die y- oder beide Komponenten

negativ sein. Das ist kein Beweis, sondern eher intuitiv.

Wäre D ein Punkt der Ebene, dann liefe ein Teil der Ebene auch

durch den Oktanten x>0, y<0,z>0.

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A = (3 | 4 | 3) , B = (1 | 3 | 6) , C = (2 | 3 | 5) aber auch D = (4 | -2 | 8) liegen in E : x+y+z = 10

Soviel zum Thema Intuition.

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OK. Das ist natürlich enttäuschend. Aber hast du
eine gute Idee ?

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Die Frage ist, ob "3 - (-9)  ≠  2"  als ohne Rechnung durchgeht.