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Aufgabe:

Newtonverfahren: Die Funktion

\( f(x)=\frac{x^{4}}{2}-x^{3}-12 x+3 \)
hat an genau einer Stelle eine waagrechte Tangente. Bestimmen Sie diese Stelle mithilfe des Newtonverfahrens. Stoppen Sie die Iteration, wenn sich die vierte Nachkommastelle nicht mehr ändert.


Problem/Ansatz:

Hallo zusammen, ich benötige eure Hilfe. Das anwenden des Newton-Verfahrens kann ich, jedoch weiß ich hier nicht, wie ich die Stelle mit der waagerechten Tangente bestimmen soll?

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Muss ich dann die erste und zweite Ableitung in die Newtonformel einsetzen?

2 Antworten

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  1. Ableitung bilden

            \(f'(x) = 2x^3 -3x^2 - 12\)

  2. Ableitung gleich 0 setzen, weil die Ableitung die Steigung angibt und eine waagrechte Tangente die Steigung 0 hat

            \(2x^3 -3x^2 - 12 = 0\).

  3. Gleichung mit dem Newton-Verfahren lösen.

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Vielen Dank für die Antwort.

Also muss ich aber die 2. Ableitung auch noch bestimmen, weil ich die ja benötige für das 'Newton-Verfahren.


Ist das richtig?

Die linke Seite der Gleichung wird als Funktionsterm

        \(g(x) = 2x^3 -3x^2 - 12\)

aufgefasst und dann wird mittels

        \(x_{n+1}=x_n - \frac{g(x_n)}{g'(x_n)}\)

iteriert.

Dass zufälligerweise \(g'(x) = f''(x)\) ist, ist der Aufgabenstellung geschuldet.

Beispiel. Bestimme die Stelle an der die Funktion \(f\) die gleiche Steigung hat wie die Funktion \(h(x)= x^2\).

In dieser Aufgabe taucht \(f''(x)\) während der Iteration nicht auf.

Xn+1=Xn- 2x^3-3x^2-12/6x^2-6x

So ist es richtig?

Da fehlen Klammern.

    Xn+1 = Xn - (2x3-3x2-12)/(6x2-6x).

Jetzt ist es richtig.

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Muss ich dann die erste und zweite Ableitung in die Newtonformel einsetzen?

Richtig. Du suchst ja die Nullstelle der ersten Ableitung

f(x) = x^4/2 - x^3 - 12·x + 3

g(x) = f'(x) = 2·x^3 - 3·x^2 - 12

Du suchst jetzt die Nullstellen der Funktion g(x). Brauchst dafür also im Newtonverfahren

g'(x) = 6·x^2 - 6·x

Ich erhalte als Lösung x = 2.477509005

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