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Aufgabe:

L Hospital


lim x gegen pi       (sin (x)*cos (x))/(e^x*sin(2x))


Problem/Ansatz:

Wenn ich pi einsetze, kommt oben 0,054721 raus und unten 2,5325, somit sind die Voraussetzung für L Hospital nicht gegeben, weil nicht 0/0 oder unendlich/unendlich rauskommt, richtig?

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sin(pi) = 0 wenn du im Bogenmaß rechnest. Du musst nur mal den Taschenrechner auf das richtige Winkelmaß stellen.

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Oh man, stimmt :-)

f(x) = u(x) / v(x)

u(x) = SIN(x)·COS(x)
u'(x) = COS(x)·COS(x) + (SIN(x)·(-SIN)(x))) = COS²(x) - SIN²(x)

v(x) = e^x·SIN(2·x)
v'(x) = e^x·SIN(2·x) + e^x·2·COS(2·x) = e^x·(2·COS(2·x) + SIN(2·x))

lim (x → pi) SIN(x)·COS(x)/(e^x·SIN(2·x))
lim (x → pi) (COS²(x) - SIN²(x))/(e^x·(2·COS(2·x) + SIN(2·x)))
lim (x → pi) 1/(2·e^pi)

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L'Hospital gibt hier in der Tat wenig Sinn, obwohl im ungekürzten Bruch

die Gestalt 0/0 bei Einsetzen von \(\pi\) entsteht.$$\lim_{x\to \pi}\frac{\sin(x)\cos(x)}{e^x\sin(2x)}=\lim_{x \to \pi}\frac{1/2\sin(2x)}{e^x\sin(2x)}=\lim_{x \to \pi}1/(2e^{x})=1/(2e^{\pi})$$

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L'Hospital gibt hier in der Tat wenig Sinn

Natürlich führt auch L'Hospital hier zum Ziel. Es ist zwar etwas umständlicher, macht aber trotzdem Sinn.

Ich muss die Aufgabe auch mit L'Hospital lösen. Nur meine Taschenrechnereinstellung war falsch.

Da hast du natürlich Recht. Habe mich etwas
zu "grob" ausgedrückt.

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Hallo,

vielleicht noch eine Variante / ein Tipp: In dem zu bearbeitenden Term lässt sich ein trivialer Anteil isolieren, es ist

$$\lim_{x \to \pi}\frac{\cos(x)}{\exp(x)}=-\exp(-\pi)$$

Also braucht man nur noch

$$\lim_{x \to \pi} \frac{\sin(x)}{\sin(2x)}=\lim_{x \to \pi} \frac{\cos(x)}{2 \cos(2x)}=-0.5$$

klären.

Gruß Mathhilf

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