Zeigen Sie, dass A invertierbar ist, und bestimmen Sie die Inverse A^-1 zu A

Question

Aufgabe:Sei A e Mn(R) eine Matrix, die

A^3 + A^2 + A + In = 0 erfüllt. Zeigen Sie, dass A invertierbar ist, und bestimmen Sie die Inverse A^-1 zu A

Problem/Ansatz: Mir ist nicht klar was jetzt wohl für Matrizen addieren, allerdings habe ich keine Ahnung, was mit

A^3.... gemeint ist?

Comments

was mit A³.... gemeint ist?

A mal A mal A

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Gut, das ist klar, was mir aber nicht klar ist, was für eine Matrix ich zunächst 3 mal mit sich selbst multiplizieren muss.. zum Schluss ist dann noch die Elementarmatrix die, soweit ich mich erinnere in der Diagonalen 1 en hat und sonst Nullen.

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was für eine Matrix

Du musst nicht wissen wie genau die Matrix aussieht um die Aufgaben zu lösen.

Überlege dir:

Wie hängt Invertierbarkeit mit den Eigenwerten zusammen?

Wie hängt das Minimalpolynom von A mit dem Polynom x³+x²+x+1 zusammen?

Wie hängen die Eigenwerte mit dem MiPo zusammen?

Was kannst du aus diesen Überlegungen für die EW folgern?

Was passiert wenn du bei A³+A²+A+In = 0, auf beiden Seiten I_n subtrahierst und dann beide Seiten mit dem Inverse von A und dann noch mit (-1) multiplizierst?

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Da ich bisher nur das 1. Semester an Fernuni Hagen durchlaufen habe, und 2018 das zweite Semester nach 30 Jahren zweiter Bildungsweg ohne Abitur gehört habe, abe niemals das 1. Semester an der Präsenzuni, so habe ich Determinanten und das charakteristische Polynom durch zuhören in Erinnerung und konnte damit auch rechnen. Weil die Unterstützung an der Fernuni aber alles andere als toll ist, habe ich mich jetzt in das 2.semester begeben. Das 1. ging wegen Corona nicht und deshalb bräuchte ich da etwas mehr Hilfe. Vorab schon Mal Danke!

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für eine nxn Matrix A über dem Körper K ist

$$ I_A := \{f \in K[x] ~|~ f(A) = 0 \} $$

ein Ideal in K[x]. Das ist recht offensichtlich. Da K ein Körper ist K[x] ein euklidischer Ring. Insbesondere existiert ein Polynom \( \mu_A \) kleinsten Grades s.d.

$$ I_A = \mu_A K[x] $$

man nennt \( \mu_A \) das MiPo von A. Es teilt insbesondere alle Polynome die A als Nullstelle haben.

Also teilt \( \mu_A \) das Polynom \( x^3+x^2+x+1 \).

Jeder EW ist Nullstelle des MiPo. Somit sind die EW eine Teilmenge der NST des Polynoms \( x^3+x^2+x+1 \).

Deshalb ist 0 kein EW von A. Somit ist A invertierbar.

Answer 1

Sei \(A^3 + A^2 + A + I_n = 0\). Ist nun \(v\) ein Vektor mit \(Av=0\),

dann folgt \((-A^2-A-I_n)Av=I_nv\), also \(0=I_nv=v\)

d.h. die lineare Abbldung \(R^n\rightarrow R^n, \; v\mapsto Av\) hat einen

trivialen Kern, ist also injektiv und daher bijektiv.

Folglich ist \(A\) invertierbar.

Es ergibt sich aus \(I_n=-A^3-A^2-A\) durch Multiplikation mit \(A^{-1}\):

\(A^{-1}=-A^2-A-I_n\).

Comments

Ist es eigentlich wirklich notwendig explizit zu zeigen, dass die Matrix \(A\) eine Inverse hat?
Meines Erachtens würde die äquivalente Umformung \(I_n=A\cdot(-I_n-A-A^2)\) völlig ausreichen, um beide Teile der Aufgabe zu zeigen. Oder sehe ich da was falsch?

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Nein, da hast du Recht. Das ist wohl die kürzeste Lösung :-)