Anwendung der Standardnormalverteilungstabelle

Question

Aufgabe:

Die Zufallsvariable X sei normalvereilt mit Mittelwert 100 und Standardabweichung 15

A) wie wahrscheinlich ist es einen Messwert zwischen 90 und 95 zu erhalten?

B) welche Prozentränge entsprechen den Messwerten 100, 110,120,130?

Problem/Ansatz:

Wie soll ich diese Aufgabe lösen? Verstehe gar nichts mehr!

Answer 1

Wenn die Standardabeichung 15 ist, entsprcht der Wert 90 (=µ-10) dem Wert $µ- \frac{2}{3} \sigma.$

Der Wert 95 (=µ-5) entspricht dem Wert $µ- \frac{1}{3} \sigma.$

Berechne also $Φ( -\frac{1}{3})-Φ( -\frac{2}{3})$

Answer 2

Aloha :)

Gegeben: $X$ ist normal-verteilt mit $\mu=100$ und $\sigma=15$.

Du kannst jede normal-verteilte Zufallsvariable $X$ durch die Transformation $z\coloneqq\frac{x-\mu}{\sigma}$ auf eine standard-normal-verteilte Zufallsvariable $Z$ zurückführen, für die du die Verteilungsfunktion $\Phi(z)$ mit deinem Taschenrechner bestimmen kannst oder in einer Tabelle nachschlagen kannst. $\Phi(z)$ gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsvariable $Z$ einen Wert kleiner (oder gleich) $z$ hat: $P(Z<z)=\Phi(z)$.

$$P(90<X\le95)=P(X\le95)-P(X\le90)=\Phi\left(\frac{95-100}{15}\right)-\Phi\left(\frac{90-100}{15}\right)$$$$\phantom{P(90<X\le95)}=\Phi\left(-\frac13\right)-\Phi\left(-\frac23\right)=0,369441-0,252493=0,116948$$

Bei den Prozenträgen brauchst du nur zu transformieren:

$$P(X<100)=\Phi\left(\frac{100-100}{15}\right)=\Phi\left(0\right)=0,5=50\%$$$$P(X<110)=\Phi\left(\frac{110-100}{15}\right)=\Phi\left(\frac23\right)=0,747507\approx74,8\%$$$$P(X<120)=\Phi\left(\frac{120-100}{15}\right)=\Phi\left(\frac43\right)=0,908789\approx90,9\%$$$$P(X<130)=\Phi\left(\frac{130-100}{15}\right)=\Phi\left(2\right)=0,977240\approx97,7\%$$