wie nähert man durch Polynomen ersten und zweiten Grades an?

Question

Aufgabe:

f : ( 0 , +∞ ) → ℝ mit f(x) \( \frac{1}{x^{2}} \)

Problem/Ansatz:

Wie nähert man f in der Umgebung des Punktes x₀ = 1 durch Polynomen nullten, ersten und zweiten Grades an

Answer 1

Hallo,

Wie nähert man f in der Umgebung des Punktes x0 = 1 durch Polynomen nullten, ersten und zweiten Grades an

indem man den Funktionswert an der Stelle \(x_0\) nimmt (0. Grades) $$f(x) \approx f(x_0)$$und die Steigung von \(f\) (reicht für 1. Grades) $$f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$$ und auch die zweite Ableitung (Steigung der Steigung) noch mit berücksichtigt, dann ist es zweiten Grades$$f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac12 f''(x_0)(x-x_0)^2$$Hier ist$$f(x) = \frac1{x^2}\quad f'(x)=-\frac2{x^3} \quad f''(x)=\frac6{x^4}$$Damit ergibt sich konkret für eine Annäherung zweiten Grades:$$f(x) \approx 1 -2(x-1) +3(x-1)^2$$und so sieht das dann aus

die rote Kurve ist der Graph von \(f\) und die Graphen der 0'ten, 1'ten und 2'ten Annäherung sind schwarz, grün und blau.

Gruß Werner

Answer 2

x₀=1 ist eine Stelle. Der Punkt an dieser Stelle heißt P(1|1).

Eine Annäherung durch ein Polynomen nullten Grades gibt es nicht

Eine Annäherung durch ein Polynomen ersten Grades ist die Tangente in P an den Graphen von f.

Eine Annäherung durch ein Polynomen zweiten Grades stimmt einer ersten und in der zweiten Ableitung mit f überein.