Weise nach, dass der vektor v orthogonal zu E verläuft

Question

Gegeben sind die Punkte $\cancel{A(2|3|1)}$ A(2/1/3), B( 4/4/2) und C(2/5/1) sowie S(2/6/11)  weise nach, dass der vektor v(-1/2/4) orthogonal senkrecht zu E verläuft. Und stelle eine geradengleichung auf, die durch S und orthogonal zu E verläuft

Comments

Könnte E eine Ebene sein? Und wie ist E definiert?

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Ja E steht für Ebene jedoch weiß ich nicht wie diese definiert ist

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Könnte es sein, dass A, B und C in der Ebene liegen? Dann wäre sie ja definiert.

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Könnte sein, steht halt nicht in der Aufgabe

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ich nehme an, es muss wieder A(2|1|3) heißen - oder?

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Ja sollte es☺️

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... weise nach, dass der vektor v(-1/2/4) orthogonal senkrecht zu E verläuft.

Ich gehe mal davon aus, dass $E$ durch die Punkte $A$, $B$ und $C$ gegeben ist!

Wenn Du nachweisen willst, dass ein Vektor $v$ orthogonal zu $E$ steht, reicht es aus, das Skalarprodukt von zwei der Differenzvektoren mit $v$ zu bilden. Ist das Produkt jeweils $=0$ so steht $v$ senkrecht auf $E$. Also für $\vec {AB}$:$$\vec {AB} \cdot v = (B-A) \cdot v \\ \phantom{\vec {AB} \cdot v } =\left(\begin{pmatrix} 4\\4\\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2\\1\\3 \end{pmatrix}\right)\begin{pmatrix} -1\\2\\4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\3\\-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1\\2\\4 \end{pmatrix} = 0 \space \checkmark$$mache das gleiche für $\vec{BC}$

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Bzw.: man kann auch nur die Skalarprodukte $Av$, $Bv$ und $Cv$ berechnen. Kommt in jedem Fall der gleiche Wert heraus (hier 12), so liegen die drei Punkte in einer Ebene senkrecht zu $v$.