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Aufgabe:

Orthogonalität in Funktionenräumen (2+1+3+2) (2+1+3+2)
(a) Zeige, dass die Funktionen fn : [1,1]C,fn(x)=exp(2πinx)/2 f_{n}:[-1,1] \rightarrow \mathbb{C}, f_{n}(x)=\exp (2 \pi \mathrm{i} n x) / \sqrt{2} mit nZ n \in \mathbb{Z} orthonormal bezüglich des Standard-Skalarproduktes
f,g11f(x)g(x)dx \langle f, g\rangle \equiv \int \limits_{-1}^{1} f^{*}(x) g(x) \mathrm{d} x
von L2([1,1]) L^{2}([-1,1]) sind.
(b) Die Funktionen fn f_{n} bilden eine orthonormale Basis nach der jede auf [1,1] [-1,1] quadratintegrable Funktion f f mit f(1)=f(1) f(-1)=f(1) (periodische Randbedingung) entwickelt werden kann, sodass
f=kfkck. f=\sum \limits_{k} f_{k} c_{k} .
Wie lauten die Koeffizienten ck c_{k} ? (Drücken Sie das Ergebnis durch das Skalarprodukt aus.)
(c) Wie lauten die Entwicklungskoeffizienten ck c_{k} von g1(x)=cos(2πx),g2(x)=sin(2πx) g_{1}(x)=\cos (2 \pi x), g_{2}(x)=\sin (2 \pi x) , g3(x)=cos(2πmx+φ) g_{3}(x)=\cos (2 \pi m x+\varphi) mit mZ m \in \mathbb{Z} ?
(d) Welche Beziehung gilt zwischen den Koeffizienten cn c_{n} und cn c_{-n} , wenn f f (i) reell oder (ii) rein imaginär ist?

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S Aufgabe 8 (8 Punkte): Orthogonalität in Funktionenräumen (2+1+3+2) (2+1+3+2)
(a) Zeige, dass die Funktionen fn : [1,1]C,fn(x)=exp(2πinx)/2 f_{n}:[-1,1] \rightarrow \mathbb{C}, f_{n}(x)=\exp (2 \pi \mathrm{i} n x) / \sqrt{2} mit nZ n \in \mathbb{Z} orthonormal bezüglich des Standard-Skalarproduktes
f,g11f(x)g(x)dx \langle f, g\rangle \equiv \int \limits_{-1}^{1} f^{*}(x) g(x) \mathrm{d} x
von L2([1,1]) L^{2}([-1,1]) sind.
(b) Die Funktionen fn f_{n} bilden eine orthonormale Basis nach der jede auf [1,1] [-1,1] quadratintegrable Funktion f f mit f(1)=f(1) f(-1)=f(1) (periodische Randbedingung) entwickelt werden kann, sodass
f=kfkck. f=\sum \limits_{k} f_{k} c_{k} .
Wie lauten die Koeffizienten ck c_{k} ? (Drücken Sie das Ergebnis durch das Skalarprodukt aus.)
(c) Wie lauten die Entwicklungskoeffizienten ck c_{k} von g1(x)=cos(2πx),g2(x)=sin(2πx) g_{1}(x)=\cos (2 \pi x), g_{2}(x)=\sin (2 \pi x) , g3(x)=cos(2πmx+φ) g_{3}(x)=\cos (2 \pi m x+\varphi) mit mZ m \in \mathbb{Z} ?
(d) Welche Beziehung gilt zwischen den Koeffizienten cn c_{n} und cn c_{-n} , wenn f f (i) reell oder (ii) rein imaginär ist?

Hi Mathelounge,

ich bin dezent verwirrt und weiß nicht weiter /:

Jede Hilfe wäre mega!

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