Aufgabe:
Orthogonalität in Funktionenräumen (2+1+3+2)
(a) Zeige, dass die Funktionen fn : [−1,1]→C,fn(x)=exp(2πinx)/2 mit n∈Z orthonormal bezüglich des Standard-Skalarproduktes
⟨f,g⟩≡−1∫1f∗(x)g(x)dx
von L2([−1,1]) sind.
(b) Die Funktionen fn bilden eine orthonormale Basis nach der jede auf [−1,1] quadratintegrable Funktion f mit f(−1)=f(1) (periodische Randbedingung) entwickelt werden kann, sodass
f=k∑fkck.
Wie lauten die Koeffizienten ck ? (Drücken Sie das Ergebnis durch das Skalarprodukt aus.)
(c) Wie lauten die Entwicklungskoeffizienten ck von g1(x)=cos(2πx),g2(x)=sin(2πx), g3(x)=cos(2πmx+φ) mit m∈Z ?
(d) Welche Beziehung gilt zwischen den Koeffizienten cn und c−n, wenn f (i) reell oder (ii) rein imaginär ist?
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S Aufgabe 8 (8 Punkte): Orthogonalität in Funktionenräumen (2+1+3+2)
(a) Zeige, dass die Funktionen fn : [−1,1]→C,fn(x)=exp(2πinx)/2 mit n∈Z orthonormal bezüglich des Standard-Skalarproduktes
⟨f,g⟩≡−1∫1f∗(x)g(x)dx
von L2([−1,1]) sind.
(b) Die Funktionen fn bilden eine orthonormale Basis nach der jede auf [−1,1] quadratintegrable Funktion f mit f(−1)=f(1) (periodische Randbedingung) entwickelt werden kann, sodass
f=k∑fkck.
Wie lauten die Koeffizienten ck ? (Drücken Sie das Ergebnis durch das Skalarprodukt aus.)
(c) Wie lauten die Entwicklungskoeffizienten ck von g1(x)=cos(2πx),g2(x)=sin(2πx), g3(x)=cos(2πmx+φ) mit m∈Z ?
(d) Welche Beziehung gilt zwischen den Koeffizienten cn und c−n, wenn f (i) reell oder (ii) rein imaginär ist?
Hi Mathelounge,
ich bin dezent verwirrt und weiß nicht weiter /:
Jede Hilfe wäre mega!