Question

Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Aussage: Die Lösungsmenge der Gleichung

\( x^{2}+y^{2}=1 \)
ist eine Gerade in \( \mathbb{R}^{2} \).
Hinweis: Zeichnen Sie eine Skizze der Lösungsmenge \( L=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+\right. \) \( \left.y^{2}=1\right\} \). Dananch machen Sie einen Beweis.

Answer 1

Aloha :)

Zur Lösungsmenge der Gleichung$$x^2+y^2=1$$gehören offensichtlich die Punkte \((-1|0)\), \((1|0)\) und \((0|1)\). Die Punkte \((-1|0)\) und \((1|0)\) liegen beide auf der \(x\)-Achse, also müsste die Lösungsgerade die \(x\)-Achse sein. Allerdings liegt der Punkt \((0|1)\) nicht auf der \(x\)-Achse, sondern auf der \(y\)-Achse.

Daher kann die Lösungsmenge keine Gerade sein.

In der Skizze sollte sich ein Kreis mit Radius \(1\) um den Ursprung des Koordinatensystems ergeben.

Answer 2

Zeichnen Sie eine Skizze der Lösungsmenge

x^2 + y^2 = r^2 ist die Menge aller Punkte die vom Ursprung die Entfernung r besitzten. Das ist also ein Kreis mit dem Radius r und keine Gerade.