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Aufgabe:

Das Intervall \( (0,1] \) wird in die beiden Mengen
\( \begin{aligned} A &=\left(\frac{1}{2}, 1\right] \cup\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{3}\right] \cup\left(\frac{1}{6}, \frac{1}{5}\right] \cup \ldots \\ B &=\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right] \cup\left(\frac{1}{5}, \frac{1}{4}\right] \cup\left(\frac{1}{7}, \frac{1}{6}\right] \cup \ldots \end{aligned} \)
zerlegt. Mit diesen Mengen definieren wir die Funktion \( f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) durch
\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x, & x \in A \\ -x, & x \in B \\ 0, & x=0 \end{array}\right. \)
Zeigen Sie, dass \( f \) integrierbar ist.

Problem/Ansatz:

Wie kann ich das Zeigen?

von

Geht es um das Riemann-Integral? Habt Ihr irgendwelche Sätze zur Verfügung, z.B.: Integrale mit endlich vielen Sprungstellen sind integrierbar? Oder: Verhalten des Integrals bei konvergenten Funktionenfolgen?

Oder gehst Du davon aus, dass die Aufgabe nur mit der Definition des Riemann-Integrals gelöst werden soll?

Es geht um das Riemann-Integral und es soll nur mir der Definition gelöst werden können.

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Beste Antwort

Hallo,

wir bestimmen eine Unterteilung des Intervalls [0,1] mit der wir die Differenz zwischen Ober- und Untersumme O-U "kleinkriegen":

Wir wählen als Unterteilungspunkt: 0,1/n und k/n^2 mit k=n+1, ..,n^2. Wir untersuchen den Beitrag, den die einzelnen Intervalle zur Differenz O-U:

1. [0,1/n]: Hier nimm f(x) höchstens den Wert 1/n an und mindesten den Wert -1/n. Der Beitrag zur Differenz lässt sich also abschätzen durch ((Max von f - Min von f)*Intervallbreite) durch: \(\frac{2}{n^2}\)

2. Das Intervall [k/n^2,(k+1)/n^2] enthält einen der Teilpunkte 1/j mit j=2,3,...,n. Dann ist das Max von kleiner gleich 1 und das Min größer gleich -1 (das kann man genauer machen, egal), also ist der Beitrag: {\frac{2}{n^2}\). Von diesen Intervallen gibt es höchstens n.

3. Das Intervall [k/n^2,(k+1)/n^2] liegt ganz in A oder B. Dann ist das Max von f im Fall A gleich (k+1)/n^2 und das Min gleich k/n^2, also ist der Beitrag: {\frac{1}{n^4}\). Von diesen Intervallen gibt es höchstens n^2.

Insgesamt sind die Beiträge also (grob abgeschätzt):

$$\frac{2}{n^2}+n\frac{2}{n^2}+n^2\frac{1}{n^4} \to 0 \quad (n \to \infty)$$

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