Aufgabe:
Partielle Ableitung 1 und 2 nach x1 und x2.
f(x1,x2)=−3x1+2x12+2x1x2−5x22+3x12x2+1x1x22+5x23 f\left(x_{1}, x_{2}\right)=-3 x_{1}+2 x_{1}^{2}+2 x_{1} x_{2}-5 x_{2}^{2}+3 x_{1}^{2} x_{2}+1 x_{1} x_{2}^{2}+5 x_{2}^{3} f(x1,x2)=−3x1+2x12+2x1x2−5x22+3x12x2+1x1x22+5x23
Problem/Ansatz:
Ich habe es schon mehrmals versucht und komme leider nicht auf die richtigen Ableitungen, bitte um Hilfe! Vielen Dank.
f(x, y) = - 3·x + 2·x2 + 2·x·y - 5·y2 + 3·x2·y + 1·x·y2 + 5·y3
Gradient
f'(x, y) = [6·x·y + 4·x + y2 + 2·y - 3, 3·x2 + 2·x·y + 2·x + 15·y2 - 10·y]
Hesse-Matrix
f''(x, y) = [6·y + 4, 6·x + 2·y + 2; 6·x + 2·y + 2, 2·x + 30·y - 10]
Verzeihung für die Verwirrung!
Die -2 für f"11 stimmt. Dadurch wäre die Determinante 40 und die Funktion an dieser Stelle weder konvex noch konkav, richtig?
Ich habe [-2, 6; 6, -38] bei der Hesse-Matrix an der Stelle (1, -1) heraus. Prüfst du das mal. Damit wäre die Funktion an der Stelle negativ definit.
Konkav meine ich, da f"11 und f"22 kleiner gleich 0 sind. Oder?
Wenn du das Kriterum von Sylverster meinst dann musst du die Hauptminoren betrachten:
http://www.massmatics.de/merkzettel/#!210:Das_Kriterium_von_Sylveste…
Demzufolge sollte die Funktion dort konkav sein.
Aloha :)
f(x;y)=−3x+2x2+2xy−5y2+3x2y+xy2+5y3f(x;y)=-3x+2x^2+2xy-5y^2+3x^2y+xy^2+5y^3f(x;y)=−3x+2x2+2xy−5y2+3x2y+xy2+5y3∂xf(x;y)=−3+4x+2y+6xy+y2\partial_x f(x;y)=-3+4x+2y+6xy+y^2∂xf(x;y)=−3+4x+2y+6xy+y2∂yf(x;y)=2x−10y+3x2+2xy+15y2\partial_y f(x;y)=2x-10y+3x^2+2xy+15y^2∂yf(x;y)=2x−10y+3x2+2xy+15y2∂xxf(x;y)=4+6y\partial_{xx}f(x;y)=4+6y∂xxf(x;y)=4+6y∂xyf(x;y)=2+6x+2y\partial_{xy}f(x;y)=2+6x+2y∂xyf(x;y)=2+6x+2y∂yxf(x;y)=2+6x+2y\partial_{yx}f(x;y)=2+6x+2y∂yxf(x;y)=2+6x+2y∂yyf(x;y)=−10+2x+30y\partial_{yy}f(x;y)=-10+2x+30y∂yyf(x;y)=−10+2x+30y
Die Hesse-Matrix im Punkt (1∣−1)(1|-1)(1∣−1) lautet:H(1;−1)=(−266−38)H(1;-1)=\left(\begin{array}{rr}-2&6\\6 & -38\end{array}\right)H(1;−1)=(−266−38)
Die Hauptminoren sind (D1=−2)(D_1=-2)(D1=−2) und (D2=40)(D_2=40)(D2=40). Daher ist die Hesse-Matrix negativ definit und die Funktion an der Stelle (1;−1)(1;-1)(1;−1) konkav.
Vielen Dank!An der Stelle (x,y)=(1,-1) habe ich folgende Beträge für die Hesse-Matrix f" (1,-1) erhalten:-2 66 -38Mit der Determinante 40.An dieser Stelle ist die Funktion konkav.
Ich habe meine Antwort wegen deiner Nachfrage ergänzt ;)
Hier die Lösungen
So schwer dünkt mir das partielle Ableiten abernicht.Ersetze noch x = x1, y = x2Oder was ist dein Begehr ?
Ein anderes Problem?
Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos