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Aufgabe:

Eine Firma bringt ein neues Produkt auf den Markt; es geht um die Verkaufszahlen für dieses Produkt.
Gegeben ist eine Funktion g(x), die "die momentane Änderungsrate des Absatzes in Stück pro Monat" beschreibt. Damit es nicht zu einfach ist, heißt die Änderungsrate in der Aufgabe g und nicht etwa g'.

Gesucht ist die Anzahl der im ersten Jahr nach der Markteinführung insgesamt von dem Produkt verkauften Stück.


Problem/Ansatz:

Die Musterlösung behauptet, $$ \int \limits_{0}^{12} g(x) dx $$ wäre die gesuchte Anzahl.

Meines Erachtens wäre die Stammfunktion $$ G(x) = \int   g(x) dx + C $$ (mit einem geeignet gewählten C) aber erst die Funktion, die den monatlichen Absatz beschreibt, und man muss $$ \int \limits_{0}^{12} G(x) dx $$ berechnen, um die im ersten Jahr verkaufte Stückzahl zu erhalten.

Wo ist mein Denkfehler? Oder ist die Musterlösung falsch?


Als Beispiel: Wenn im ersten Monat ein Stück verkauft wird, im zweiten zwei, im dritten drei usw., könnte man eine "Absatzfunktion" a(x) = x aufstellen. Innerhalb von 12 Monaten würden a(1) + a(2) + ... + a(12) = 1+2+ ... +12 = 78 Stück verkauft.
Die momentane Änderungsrate a'(x) = 1 gibt dann an, wie viele Stück jeden Monat MEHR verkauft werden (nämlich von Monat zu Monat immer eins mehr).
Wenn ich nun aber wissen will, wie viele in einem Jahr verkauft wurden, muss ich a integrieren (oder aufsummieren), nicht die Änderungsrate a'. Das Integral über a' ergäbe 12 (Stück), was ganz offensichtlich NICHT die Gesamtzahl der in einem Jahr verkauften Stück ist.


von

1 Antwort

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Du willst klein g integrieren mit einer Integrationskonstanten C vresehen und dann das ganze nochmals Integrieren? Das ist einmal zuviel Integriert.

Der Ansatz ist Schon völlig richtig.

∫ (0 bis 12) g(x) dx

Berechnen tut man es mittels Stammfunktion

∫ (0 bis 12) g(x) dx = G(12) - G(0)

eine Integrationskonstante ist nicht nötig, weil sich die beim Subtrahieren eh wegheben würde.

von 422 k 🚀

Ah, gut, danke.

Dann jetzt mit konkreten Funktionstermen: Tatsächlich bleiben die Verkaufszahlen das ganze Jahr konstant, es werden jeden Monat exakt 10 Stück verkauft.

Es ist also g(x) = 0.

Wie viel Stück werden in einem Jahr verkauft? Nach Deiner Ansicht

∫ (0 bis 12) 0 dx = 0

Änderungsrate das Gesamtabsatzes

g(x) = 10 Stück / Monat

Gesamtabsatz

G(x) = 10x + 0 Stück

Der von Dir genannte Gesamtabsatz gibt an, wie viel Stück insgesamt (seit der Markteinführung) verkauft worden sind, oder?

In der Aufgabe ist aber nicht vom "Gesamtabsatz" die Rede, sondern nur vom Absatz. Wenn mir jemand z.B. vom "Absatz im Monat März" erzählt, nehme ich an, dass er meint, wie viel Stück in diesem Monat verkauft wurden; nicht wie viel Stück insgesamt seit Markteinführung bis zum März verkauft wurden.
Dementsprechend bin ich auch davon ausgegangen, dass der in der Aufgabe erwähnte Absatz sich jeweils auf die Verkaufszahlen in einem Monat bezieht.

Zu dem genannten Beispiel würde ich etwa sagen "Der Absatz in jedem Monat war 10 Stück; der Absatz ist also immer gleich geblieben."
Klar steigt der "Gesamtabsatz" dadurch an. Aber die Änderungsrate des (monatlichen) Absatzes ist in diesem Beispiel null.

Es kann schon sein, dass ich mich irre, aber bisher konntest Du mich davon noch nicht überzeugen.

Beachte die Einheiten

Stück pro Monat ist etwas anderes wie Stück.

In Stück wird der Gesamtabsatz berechnet in Stück pro Monat ist es die Ableitung des Gesamtabsatzes.

und bei dir ist eine Funion g(x) gegeben die die Änderungsrate des Gesamtabsatzes in der Einheit Stück pro Monat angibt.

Die Stammfunktion davon beschreibt also den Gesamtabsatz.

Wichtig ist für solche Aufgaben natürlich, mit den Definitionen von der Lehrkraft vertraut zu machen.

Aber die sind eigentlich in jedem halbwegs vernünftigen Lehrbuch die gleichen.

Ja, die Einheiten sind ein gewisses Problem. Aber vielleicht ist da ja auch noch ein Fehler in der Aufgabenstellung?

Wenn wir von den Einheiten mal absehen - könntest Du mir am folgenden Beispiel noch einmal genau erläutern, wo mein Denkfehler ist, bitte?

Beispiel: Wenn im ersten Monat ein Stück verkauft wird, im zweiten zwei, im dritten drei usw., könnte man eine "Absatzfunktion" a(x) = x aufstellen. Innerhalb von 12 Monaten würden a(1) + a(2) + ... + a(12) = 1+2+ ... +12 = 78 Stück verkauft.
Die momentane Änderungsrate des Absatzes a'(x) = 1 gibt dann an, wie viele Stück jeden Monat MEHR verkauft werden (nämlich von Monat zu Monat immer eins mehr).
Wenn ich wissen will, wie viele in einem Jahr verkauft wurden, muss ich a integrieren (oder aufsummieren), nicht die Änderungsrate a'.

Wo ist (in diesem Beispiel) der Fehler?

Du definierst halt deine Funktionen falsch.

g''(t) = 1 Stück / Monat²

g'(t) = t + 1/2 Stück / Monat

g(t) = 1/2·t^2 + 1/2·t Stück

Der Gesamtabsatz wird in diesem Zusammenhang immer in Stück angegeben.

Der Monatsabsatz immer in Stück/Monat

Und die Änderung des Monatsabsatzes hier in Stück/Monat pro Monat.

Wichtig ist in diesem Zusammenhang auch das die Änderungsrate des Gesamtabsatze nicht für den Ganzen Monat konstant ist so wie die Geschwindigkeit 100 km/Stunde nicht immer über eine Stunde konstant ist.Daher hat man am Anfang und am Ende des Monats schon eine Abweichende Verkaufs- bzw. Absatzrate.

Du schreibst: "Der Gesamtabsatz wird in diesem Zusammenhang immer in Stück angegeben. Der Monatsabsatz immer in Stück/Monat Und die Änderung des Monatsabsatzes hier in Stück/Monat pro Monat."

Das ist (bis auf die Rechtschreib- und Grammatikfehler) ja genau, was ich auch sage. Da sind wir uns also einig.

Wenn ich jetzt eine Funktion f(x) gegeben habe, die die Änderung des Monatsabsatzes beschreibt, beschreibt deren Stammfunktion F(x) doch den Monatsabsatz, oder? Und mit dem Integral über F(x) in den Grenzen von 1 bis 12 könnte ich den Gesamtabsatz eines Jahres berechnen?

Wenn ich jetzt eine Funktion f(x) gegeben habe, die die Änderung des Monatsabsatzes beschreibt, beschreibt deren Stammfunktion F(x) doch den Monatsabsatz, oder? Und mit dem Integral über F(x) in den Grenzen von 1 bis 12 könnte ich den Gesamtabsatz eines Jahres berechnen?

Ja genau.

Herzlichen Dank! :-)

In meiner Anfrage hatte ich das geschrieben:
Meines Erachtens wäre die Stammfunktion $$ G(x) = \int g(x) dx + C $$ (mit einem geeignet gewählten C) aber erst die Funktion, die den monatlichen Absatz beschreibt, und man muss $$ \int \limits_{0}^{12} G(x) dx $$ berechnen, um die im ersten Jahr verkaufte Stückzahl zu erhalten.

Nun weiß ich, dass ich richtig liege. Vielen, vielen Dank! :-)

Ich wünsche Dir noch einen schönen Abend.

Und eben darin liegst du nicht richtig. Lies doch die Aufgabe richtig.

Gegeben ist eine Funktion g(x), die "die momentane Änderungsrate des Absatzes in Stück pro Monat" beschreibt.

Du hast also eine Funktion, die die Änderung des gesamten Absatzes beschreibt und diese Funktion wird nur einmal integriert, um den Gesamtabsatz zu bekommen.

Nein. "Absatz pro Monat" , das ist die Änderungsrate des Gesamtabsatzes, ergibt integriert den Gesamtabsatz , also genau so, wie der Fragesteller es verstanden hat.

Ich denke, die Formulierung "momentane Änderungsrate des Absatzes in Stück pro Monat" in der Aufgabe ist missverständlich bzw. falsch.
Entweder steht die gegebene Funktion für den (monatlichen) Absatz in Stück pro Monat - dann wäre die Einheit korrekt angegeben, aber die Bezeichnung der Funktion nicht.
Oder es geht um die Änderungsrate des (monatlichen) Absatzes - dann wäre die Einheit falsch angegeben.
Oder mit Absatz ist der Gesamtabsatz des Produkts bis zum jeweiligen Zeitpunkt gemeint; das ist nicht unbedingt das, was man landläufig assoziiert, wenn man "Absatz" hört. Aber mit dieser Interpretation passen die Bezeichnung (als Änderungsrate) und die Einheit (Stück pro Monat) wenigstens zusammen.


Vielen Dank nochmal! :-)

Die Bezeichnung der Funktion ist schon korrekt. Die momentane Änderungsrate des Gesamtabsatzes ist halt Absatz pro Zeit

Man könnte es auch in Stück pro Stunde angeben. Wie gesagt spiegelt 100 Stück pro Monat dort auch nicht wider, dass in diesem Monat 100 Stück verkauft werden.

Wenn du auf der Autobahn 100 km/h fährst bedeutet es auch nicht, dass du in einer Stunde 100 km zurückgelegt hat. 100 km/h ist viel mehr die momentane Änderungsrate der gefahrenen Strecke.

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