Finde eine explizite (d. h. nicht rekursive) Formel für das Folgenglied xn, für beliebiges n ∈ N.

Question

x_n+1 =x_n +x_n−1 (n∈N)

(a) Zeige, dass A diagonalisierbar ist und bestimme eine invertierbare Matrix T mit
T⁻¹AT = D, wobei D eine Diagonalmatrix ist.

(b) Finde eine explizite (d. h. nicht rekursive) Formel für das Folgenglied x_n, für beliebiges n ∈ N.
Hinweis: Aⁿ = T(T⁻¹AT)ⁿT⁻¹ für alle n ∈ N.

Comments

Gehört es zur Aufgabe, zu raten, was A ist? Wenn ja, weißt Du es schon?

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Warum stellst Du dieselbe Aufgabe 2 mal hier ein?

https://www.mathelounge.de/942785/zeige-dass-diagonalisierbar-bestim…

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Gehört es zur Aufgabe, zu raten, was A ist?

Nee - sowas weiß man ;-)$$\begin{pmatrix} x_{n+1}\\x_{n} \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}}_{=A}\begin{pmatrix} x_{n}\\x_{n-1} \end{pmatrix}$$

Answer 1

Wie von Werner schon hingeschrieben gilt

$$(1) \quad \begin{pmatrix} x_{n+1} \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_n \\ x_{n-1} \end{pmatrix}$$ und sei $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

$A$ hat zwei verschieden Eigenwerte $\alpha$ und $\beta$ die Lösung der Gleichung $\lambda^2 - \lambda - 1 =$ sind.

Wegen dem Satz von Vieta gilt für die beiden Lösungen

$$(2) \quad \alpha + \beta = 1$$ und

$$(3) \quad \alpha \cdot \beta = -1$$

Aus (1) folgt durch mehfache Anwendung die Gleichung

$$(4) \quad \begin{pmatrix} x_{n+1} \\ x_n \end{pmatrix} = A^n \begin{pmatrix} x_1 \\ x_0 \end{pmatrix}$$

Die Matrix $A$ kann diagonalisiert werden durch die Matrix

$T = \begin{pmatrix} \alpha & 1 \\ \beta & 1 \end{pmatrix}$ und es gilt

$T^{-1} A T = D = \begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix}$

Damit gilt

$$(5) \quad \begin{pmatrix} x_{n+1} \\ x_n \end{pmatrix} = T D^n T^{-1} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_0 \end{pmatrix}$$

dabei gilt $D^n = \begin{pmatrix} \alpha^n & 0 \\ 0 & \beta^n \end{pmatrix}$

Mit den Anfangswerten $x_1 = x_0 = 1$ folgt aus (5)

$$\begin{pmatrix} x_{n+1} \\ x_n \end{pmatrix} = \frac{1}{\beta-\alpha} \begin{pmatrix} \alpha^{n+1}(\beta-1) + \beta^{n+1}(1-\alpha) \\ \alpha^n(\beta-1) + \beta^n(1-\alpha) \end{pmatrix}$$

Wegen (2) folgt jetzt

$$\begin{pmatrix} x_{n+1} \\ x_n \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} \alpha^{n+2} - \beta^{n+2} \\ \alpha^{n+1} - \beta^{n+1} \end{pmatrix}$$ also

$$x_n = \frac{ \alpha^{n+1} - \beta^{n+1} } { \sqrt{5} }$$