Ebenengleichung aus 2 Punkten und einem Winkel

Question

geg:

Punkt 1 = e1 = (-0,5; -0,85; -3)
Punkt 2 = e2 = (0,4; 0,1; 4)

Winkel = alpha = 15°
ges:
ist die Ebenengleichung E(x,y) = e0 + kx * x + ky * y


Hallo,

ich überlege schon eine ganze Weile und habe auch schon Versuche gestartet das Problem zu lösen. Ich hatte mir überlegt eine Geradengleichung für die xz Ebene aufzustellen, um anschließend e0 zu errechnen. Mein Problem ist, dass ich gerade nicht weiß wie ich die Linienlänge die senkrecht von Punkt e1 zur gedachten verlängerten Geraden von e2 berechne.
Über die Verhältnisse bestimme ich anschließend e0
Anschließend könnte ich zwei Gleichungen aufstellen und meine bekannten x und y Koordinaten einsetzen sowie e0. Dann sollte man ky und ky berechnen können.
Könnte mir bitte jemand helfen. Vektorrechnung war nicht unbedingt eine meiner Stärken.

Vielen Dank.

Comments

Hallo,

Du musst schon etwas präziser werden bei der Aufgabestellung.

- liegen e1 und e2 in der gesuchten Ebene?

- wo genau liegt der Winkel alpha? Was bilden seine Schenkel?

... ist die Ebenengleichung E(x,y) = e0 + kx * x + ky * y

Das ist nur genau dann eine Ebenengleichung, wenn $E(x,y)$ die Koordinate der dritten Dimension darstellt. Ist das so gemeint?

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Hallo Herr Salomon,

also mehr Eckdaten habe ich leider nicht.

Aber zu Deinen Fragen:

je e1 und e2 liegen in der gesuchten Ebene.

Zu Ihrer zweiten Frage würde ich nochmal die Zeichnung verändern. Und gleich hochladen.

Das ist nur genau denn eine Ebenengleichung, wenn $E(x,y)$ die Koordinate der dritten Dimension darstellt. Ist das so gemeint? Ja ich gebe ich und y ein und erhalte als Ergebnis den z-Wert.

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Also der Winkel bezieht sich auf die x und y-Achse. Also bei -15 verdreht sich die die Linie im Uhrzeigersinn, um 15°. Habe ich die Frage ausreichend beantwortet?

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alpha = arctan(ky/kz)

Ich galube das ist noch wichtig.

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Habe ich die Frage ausreichend beantwortet?

Oh nein! Ein Winkel kann sich schlecht auf zwei Achsen beziehen. Dann steht in der Zeichnung nicht wo die X- und wo die Y-Achse ist. Ich unterstelle mal, dass das $E(x,y)=z$ nach oben zeigt.

Weiter unterstelle ich, dass das mit etwas dickerer Linie gezeichnete perspektivisch verzerrte Rechteck die XY-Eben darstellen soll - richtig?

Die Angabe 'im Uhrzeigersinn' kann in 3D ziemlich nach hinten losgehen, wenn ich die Uhr von hinten anschaue.

ich vermute es sieht so aus:

X geht nach links unten, Y nach rechts unten und Z nach oben. Beide roten Geraden liegen in der XY-Ebene. Die blau markierte Gerade liegt parallel zur X-Achse und die zweite rote Gerade ist die Schnittgerade von der gesuchten Ebene E und der XY-Ebene.

passt das so ?

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alpha = arctan(ky/kz)

Ist jetzt $\alpha$ gegeben oder $k_x$ und $k_y$ (oder $k_y$ und $k_z$)

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ja z zeigt nach oben so wie von dir dargestellt.

Die zweite Unterstellung ist ebenfalls korrekt.

X geht nach links unten, Y nach rechts unten und Z nach oben. Beide roten Geraden liegen in der XY-Ebene. Die blau markierte Gerade liegt parallel zur X-Achse und die zweite rote Gerade ist die Schnittgerade von der gesuchten Ebene E und der XY-Ebene.

passt das so ? Ja das müsste so passen.

Ich kann die Länge der gelben Linie grafisch bestimmen. Dann habe ich e0.

Anschließend zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.

Das Ergebnis müsste lauten:

E(x,y)=2,78247699  +  1,57464435  * x +  5,87665272 * y

Mein Problem ist wie berechne ich die Länge der roten Linie? Eventuell hast du eine elegantere Lösung wie man hier zu einer Lösung kommt. Ich komme nur zu einer Lösung, indem ich es grafisch zeichne und die Länge der gelben Linie messe. Die grünen Linien stellen dabei den Z-Wert dar, den ich mir in der xy-Ebene darstelle.

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alpha ist gegeben

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Ich kann die Länge der gelben Linie grafisch bestimmen. Dann habe ich e0.

Was beschreibt $e_0$? Wie kommst Du zu der gelben Linie?

Das Ergebnis müsste lauten:
E(x,y)=2,78247699  +  1,57464435  * x +  5,87665272 * y

Das Ergebnis nützt nichts, wenn Du die gegebenen Größen für Dich behälst ;-)

Der Punkt $e_1$ scheint ja in der XY-Ebene zu liegen. Dann muss $e_2$ außerhalb der XY-Ebene liegen, ansonsten gibt es keine Lösung. Ist das so, liegt $e_2$ außerhalb?

Die rote Strecke liegt in der XY-Ebene und ist die Schnittgerade - hier unter einem WInkel der eher bei 70° als bei 15° steht - richtig?

Interessant sind auch die grünen Geraden. Was markiert die Gerade die von der $4$ zu der $-3$ geht?

Vielleicht erzählt Du noch ein wenig über die Umgebung des Problems - nicht dass wir hier ein XY-Problem vor uns haben!

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e0 beschreibt die Dehnung im Koordinatenursprung.

e1 und e2 besitzen Koordinaten in x und y Richtung. z-stellt die Dehnung dar. Das heißt -3 der Querschnitt (das Rechteck) wird gestaucht. Bei e2 ist die Dehnung 4, sprich der Querschnitt wird gezogen. Der Verlauf zwischen Druck und Zug ist linear (Ebenbleiben des Querschnitts - Bernoulli Hypothese). Warum muss e2 außerhalb liegen? Ich dachte, dass ich mit dem 3d Bild alles gut gezeigt hätte.

Die 15° beziehen sich auf jeden Punkt in der Ebene. Also nehmen wir e1 und die weiße Linie waagerecht. Das ist der Querschnitt. Und die ist um 15° in der xy Ebene verdreht.

Und die Linie die von -4 bis 3 geht beschreibt wie sich die Dehnungen über den Querschnitt linear verändern. Irgendwo ist der Nulldurchgang. Das ist der Schnittpunkt rot mit grün.

Was ist denn ein xy Problem? Jedenfalls müssten die grünen Linien in z-Richtung gezeichnet werden. Aber um es grafisch zu lösen, kann man das auch so machen. Im nachfolgenden Bild sind die gelben Linien die grünen Linien aus dem Bild von vorhin.

Ich würde mich da auch gar nicht so auf die Zahlen versteifen, da ich das ja allgemein lösen möchte. Die Zahlen dienen eigentlich nur zur Visualisierung.

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Was ist denn ein xy Problem?

ich schrieb:

... nicht dass wir hier ein XY-Problem vor uns haben!

wer klicken kann ist klar im Vorteil ;-)

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Vielen Dank für deine Hilfe, Salomon.

Answer 1

Hallo,

ich glaub' die Angaben reicht für eine Antwort. Obwohl einiges von dem, was Du da schreibst mir unklar ist.

Ich fasse das nochmal zusammen. Dazu habe ich auch ein Bild gezeichnet

Bitte klick drauf. Dann öffnet sich Geoknecht3D und rotiere bitte die Szene, um Dich zu vergewissern, dass wir dasselbe meinen!

Es sind an zwei Stellen (eines Biegebalkens) Dehnungen gegeben - das sind die Punkte $e_1$ und $e_2$. Die Positionen (x,y) und die Dehnungswerte $E(x,y)$ sind bekannt. Mindestens einer der Werte hat einen Dehnungswert $\ne 0$. Weiter ist ein WInkel $\alpha$ gegeben, unter dem die Biegekraft zur lotrechten (Y-)Achse hin in den Balken eingeleitet wird. Im Bild oben ist dies der Winkel zwischen der roten und schwarzen Strecke und im Beispiel $\alpha = -15°$.

Gesucht ist die lineare Funktion $E(x,y) = e_0 + k_xx+k_yy$, die die Dehnungen im gesamten interessierenden Gebiet beschreibt. Gegeben ist$$e_1 = \begin{pmatrix}e_{1x}\\ e_{1y}\\ E_1\end{pmatrix}, \quad e_2 = \begin{pmatrix}e_{2x}\\ e_{2y}\\ E_2\end{pmatrix}, \quad \alpha, \quad E_1 \ne E_2$$

Meine Vorgehesweise wäre: Bestimme die Gerade $g_e$ durch $e_1$ und $e_2$ und berechne den Schnittpunkt mit der $xy$-Ebene:$$\vec b = e_2 - e_1 \\g_e: \quad \vec x = e_1 + \lambda \vec b\quad \lambda_0 = -\frac{E_1}{E_2-E_1} \space \to \vec x_0=\vec x(\lambda_0)$$Bem.: $\vec b$ liegt bereits in der gesuchten Ebene. Berechne einen Normalenvektor $\vec n$ der Ebene aus $\vec b$ und der Richtung $\vec r(\alpha)$$$\vec r(\alpha) = \begin{pmatrix}\cos(\alpha)\\ \sin(\alpha)\\ 0\end{pmatrix} \quad \vec n = \vec r(\alpha) \times \vec b$$Stelle nun die Normalengleichung der Ebene auf$$E': \quad \vec n \vec x = \vec n \vec x_0$$Bem.: nur der Wert auf der rechten Seite muss berechnet werden. Nun liegt eine Koordinatengleichung in der Form$$ax+by+cz = d$$vor. Abschließend diese nach $z=E(x,y)$ auflösen:$$E(x,y) = \frac dc - \frac acx - \frac bcy \quad \implies e_0 = \frac dc, \space k_x=-\frac ac,\space k_y=-\frac bc$$

Gruß Werner

Comments

Guten Abend Werner,

ich glaube wir hatten früher schon einmal bei "herber" "miteinander zu tun". Vielen Dank für deine Lösung. Ich würde mir deine Lösung morgen genau ansehen und mich bei dir zurück melden.

Vielen Dank und Gute Nacht erst einmal.

:-)

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Guten Abend Werner,

vielen Dank nochmal. Bist du auch an "Beton" interessiert Formeln etc.?

Ich habe mich jetzt hingesetzt und das nach meiner Logik gelöst. Ich muss mir deine Lösung in Ruhe ansehen. Die Zeit hat mir heute leider gefehlt, da ich draußen etwas machen musste.

Ich habe das ganze mal in VBA getippt. Hier meine Lösung :o). Vielleicht gibts du mir eine Rückmeldung. Ich würde mich freuen.

Sub Dehnungsebene()
Dim alpha As Double, alpha_Tan As Double   'Nulllinienwinkel
Dim P0x As Double, P0y As Double, P0e As Double 'Koordinaten P1 und Dehnung an der Stelle e0
Dim P1x As Double, P1y As Double, P1e As Double 'Koordinaten P1 und Dehnung an der Stelle e1
Dim P2x As Double, P2y As Double, P2e As Double 'Koordinaten P2 und Dehnung an der Stelle e2
Dim P3x As Double, P3y As Double, P3e As Double 'Koordinaten P3 und Dehnung an der Stelle e3
Dim P4x As Double, P4y As Double, P4e As Double 'Koordinaten P1 und Dehnung an der Stelle e4
Dim pi As Double   'Herr PI
Dim m_G0 As Double, m_G1 As Double, m_G2 As Double 'Steigung der Geraden
Dim n_G0 As Double, n_G1 As Double, n_G2 As Double 'Schnittpunkt mit y-Achse
Dim kx As Double, ky As Double 'Verkrümmungen
Dim L23 As Double, L04 As Double   'Länge der Hilfsgeraden
pi = 4 * Atn(1)

Debug.Print "Ermittlung der Dehnungsebene:"
Debug.Print "-----------------------------"
Debug.Print ""
Debug.Print "Vorgabe von zwei Punkten und dem Winkel der Nulllinie"
Debug.Print "Definition: eps(x,y)= e0 + kx * x + ky * y"

P0x = 0
P0y = 0

P1x = -0.5
P1y = -0.85
P1e = -3

P2x = 0.4
P2y = 0.1
P2e = 4

alpha = -15
alpha_Tan = Tan(alpha * pi / 180)

Debug.Print "geg.:"
Debug.Print "P0x = " & P0x & " m"
Debug.Print "P0y = " & P0y & " m"
Debug.Print ""
Debug.Print "P1x = " & P1x & " m"
Debug.Print "P1y = " & P1y & " m"
Debug.Print ""
Debug.Print "P2x = " & P2x & " m"
Debug.Print "P2y = " & P2y & " m"
Debug.Print ""
Debug.Print "alpha = "; alpha; " °"
Debug.Print ""

Debug.Print "ges.:"
Debug.Print "Dehnungsebene: eps(x,y)= e0 + kx * x + ky * y"

m_G1 = alpha_Tan   'Steigung von f1(x)
m_G2 = -1 / m_G1    'Steigung von f2(x) - steht senkrecht auf f1(x)
m_G0 = m_G2

n_G0 = P0y - m_G0 * P0x
n_G1 = P1y - m_G1 * P1x
n_G2 = P2y - m_G2 * P2x
Debug.Print ""
Debug.Print "Lsg.:"
Debug.Print "Ermittle die Geradengleichung im Punkt P1 mit alpha = " & alpha & " °"
Debug.Print ""
If n_G1 >= 0 Then
  Debug.Print "f1(x)= " & m_G1 & " * x + " & n_G1
Else
  Debug.Print "f1(x)= " & m_G1 & " * x " & n_G1
End If
Debug.Print ""

Debug.Print "Ermittle die Geradengleichung im Punkt P2 senkrecht auf f1(x)"
Debug.Print ""
If n_G2 >= 0 Then
  Debug.Print "f2(x)= " & m_G2 & " * x + " & n_G2
Else
  Debug.Print "f2(x)= " & m_G2 & " * x " & n_G2
End If
Debug.Print ""

Debug.Print "Ermittle die Geradengleichung im Punkt P0 senkrecht auf f1(x)"
Debug.Print ""
If n_G0 >= 0 Then
  Debug.Print "f3(x)= " & m_G0 & " * x + " & n_G0
Else
  Debug.Print "f3(x)= " & m_G0 & " * x " & n_G0
End If
Debug.Print ""
'beide Funktionen gleichsetzen und nach x und y lösen
Debug.Print "Gleichungen f1(x) und f2(x) gleichsetzen, um den Schnittpunkt P3 zu bestimmen."
Debug.Print "Berechne den Hilfspunkt P3 - dieser liegt auf der verlängerten Linie von P1 und besitzt dieselbe Dehnung wie Punkt P1"
Debug.Print "Ausgabe der berechneten Koordinaten des Hilfspunktes P3:"
P3x = -(n_G1 - n_G2) / (m_G1 - m_G2)
P3y = (m_G1 * n_G2 - m_G2 * n_G1) / (m_G1 - m_G2)
Debug.Print "P3x = " & P3x & " m"
Debug.Print "P3y = " & P3y & " m"
Debug.Print ""
'beide Funktionen gleichsetzen und nach x und y lösen:
Debug.Print "Gleichungen f1(x) und f3(x) gleichsetzen, um den Schnittpunkt P4 zu bestimmen."
Debug.Print "Berechne den Hilfspunkt P4 - dieser liegt auf der verlängerten Linie von P1 und besitzt dieselbe Dehnung wie Punkt P1"
Debug.Print "Ausgabe der berechneten Koordinaten des Hilfspunktes P4"
P4x = -(n_G1 - n_G0) / (m_G1 - m_G0)
P4y = (m_G1 * n_G0 - m_G0 * n_G1) / (m_G1 - m_G0)
Debug.Print "P4x = " & P4x & " m"
Debug.Print "P4y = " & P4y & " m"
Debug.Print ""
Debug.Print "Berechne die Strecke zwischen P2 und P3"
'Länge Linie von P2 zu P3
L23 = Sqr((P3x - P2x) ^ 2 + (P3y - P2y) ^ 2)
Debug.Print "L23 = " & L23 & " m"
Debug.Print ""
Debug.Print "Berechne die Strecke zwischen P0 und P4"
'Länge Linie von P0 zu P4
L04 = Sqr((P0x - P4x) ^ 2 + (P0y - P4y) ^ 2)
Debug.Print "L04 = " & L04 & " m"
Debug.Print ""
Debug.Print "Bestimme die erste Unbekannte der Ebenengleichung - e0"
P0e = -(P1e * (L04 - L23) - P2e * L04) / L23
Debug.Print "P0e = " & P0e & " ‰ - Dehnung im Koordinatenursprung"
Debug.Print ""
Debug.Print "Berechne die Verkrümmungen kx und ky"
'berechne nun kx und ky - Auflösen von 2 Gleichungen mit zwei Unbekannten
kx = (P0e * (P1y - P2y) + P1e * P2y - P1y * P2e) / (P1x * P2y - P1y * P2x)
ky = -(P0e * (P1x - P2x) + P1e * P2x - P1x * P2e) / (P1x * P2y - P1y * P2x)
Debug.Print "kx = " & kx & " mm/m/m"
Debug.Print "ky = " & ky & " mm/m/m"
Debug.Print ""
Debug.Print "Dehungsebene:"
Debug.Print "eps(x,y)= " & P0e & " + " & kx & " * x + " & ky & " * y"

End Sub

Und hier dazu die entsprechende Grafik.

Viele Grüße

Frank

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Bist du auch an "Beton" interessiert Formeln etc.?

Nö ... wieso?

ich glaube wir hatten früher schon einmal bei "herber" "miteinander zu tun".

Wer oder Was ist "herber"?

und hier dazu die entsprechende Grafik.

Hallo Frank,

da kann ich leider nix mit anfangen. Auch nicht mit dem VBA-Programm. (Das ist schonmal viel zu lang für das Problem?).

Zur Verifizierung des von mir vorgeschlagenen Algorithmus wäre es vielleicht besser, Du schreibst mir die Eingangsgrößen für das Ergebnis

E(x,y)=2,78247699  +  1,57464435  * x +  5,87665272 * y

(s.o.) da sollte doch dassselbe heraus kommen - oder?

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Guten Morgen Werner,

vielen Dank für deine Rückmeldung.

Das VBA Programm ist deshalb so lang, weil ich ständig alles in den Ausgabebereich schreibe, um zu sehen was raus kommt.

Richtig: E(x,y)=2,78247699  +  1,57464435  * x +  5,87665272 * y

das ist das Ergebnis bzw. das soll rauskommen:o).

Viele Grüße und einen schönen Start in die neue Woche.

Frank

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Richtig: E(x,y)=2,78247699  +  1,57464435  * x +  5,87665272 * y
das ist das Ergebnis bzw. das soll rauskommen :o).

Ja schön ! ... aber auf Grund welcher Eingaben bitte ??

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Die Vorgaben lauten:

Punkt 1 = e1 = (-0,5; -0,85; -3)
Punkt 2 = e2 = (0,4; 0,1; 4)
Winkel = alpha = -15°

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Die Vorgaben lauten:

Punkt 1 = e1 = (-0,5; -0,85; -3)
Punkt 2 = e2 = (0,4; 0,1; 4)
Winkel = alpha = -15°

Prima! Der Algorithmus, den ich oben beschrieben habe, liefert dazu exakt die von Dir angegebene Lösung :-)

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Hallo Werner,

ich versuche deine Berechnung zu verstehen. Aber so ganz verstehe ich es noch nicht.

Also ich verstehe, dass die Gerade zwischene1 und e2 eine Linie innerhalb der gesuchten Ebene darstellt.

Ich habe jetzt die Zahlen eingegeben.

Stimmt das bis hier hin?

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Das $\lambda_0$ ist falsch.$$\lambda_0 = \frac{-E_1}{E_2-E_1} =0,42857143$$Weiter ist$$x_0=\begin{pmatrix}-0,114286\\ -0,442857\\ 0\end{pmatrix}, \quad \vec n = \begin{pmatrix}-1,811733\\ -6,761481\\ 1,150567\end{pmatrix}$$$\vec n$ passt.