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Ich wollte diese Aufgaben berechnen, jedoch bin ich verzweifelt, weil ich nicht weiß wie man das berechnet. a) b) und c) habe ich schon berechnet. Könnte mir jemand vlt mindestens einen Ansatz geben wie man da vorgeht, so das ich das Problemlos rechnen kann. Ich wäre sehr dankbar.20220614_073846.jpg

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Mathematik 12
Flugzeuge
\( A B 3 \)
Ein Flugplatz liegt in der von den Koordinatenachsen \( \overrightarrow{x_{1}} \) und \( \overrightarrow{x_{2}} \) aufgespannten Ebene \( E_{12} \) (Erdoberfläche), der Tower befindet sich im Ursprung \( (0|0| 0) \). Die \( \overrightarrow{x_{1}} \)-Achse weist nach Süden, entsprechend \( 180^{\circ} \) auf dem Kompass, die \( \overrightarrow{x_{2}} \)-Achse weist nach Osten, entsprechend \( 90^{\circ} \) auf dem Kompass, die 3. Koordinate gibt die Höhe über dem Erdboden an.
Unmittelbar nach dem Abheben von der Startbahn steigt ein Doppeldecker d geradlinig auf. Auch ein Motorgleiter \( m \) bewegt sich entlang einer Geraden:
\( d: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 5 \\ 1\end{array}\right)+t_{1} \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 4 \\ 1\end{array}\right) \quad \) und \( \quad m: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 9 \\ 3\end{array}\right)+t_{2} \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) \)
Die Flugzeuge fliegen (vereinfachend angenommen) mit einer konstanten Geschwindigkeit; t ist die Anzahl der Minuten, die ab 10 Uhr morgens vergangen sind; die
a) Begründen Sie, dass der Motorgleiter parallel zur Erdoberfläche fliegt und geben Sie seine Flughöhe an.
b) Geben Sie den Zeitpunkt an, an dem der Doppeldecker abhebt und bestimmen Sie die Koordinaten des Abhebepunktes.
c) Geben Sie die Geradengleichung der Startbahn des Doppeldeckers an. Bestimmen Sie den Steigungswinkel beim Start des Doppeldeckers.
d) Zeigen Sie, dass der Doppeldecker im Abhebepunkt den kürzesten Abstand zum Tower hat.
e) Während des weiteren Startvorgangs überfliegt der Doppeldecker in \( 8 \mathrm{~km} \) Höhe das Zentrum einer Stadt. Berechnen Sie die Entfernung des Stadtzentrums vom Abhebepunkt.
f) Bestimmen Sie die Geschwindigkeiten beider Flugzeuge in \( \mathrm{km} / \mathrm{h} \).
g) Geben Sie die Himmelsrichtungen in Grad an, in welche die beiden Flugzeuge fliegen (siehe Abbildung der Kompassrose).
h) Untersuchen Sie, ob sich die beiden Flugbahnen schneiden und ob Kollisionsgefahr besteht.
Extraaufgabe: Bestimmen Sie den kürzesten Abstand des Motorgleiters vom Tower.


von

2 Antworten

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d)
Gesucht ist der kleinste Abstand vom Fußpunkt des Towers zur Flugbahn d.

Richtung der Lotgerade auf d: n=(-4,2,0)

Fußpunkt der Lotgerade: d(t)

Die Lotgerade d(t) + s*n muss dann durch den Punkt (0,0,0) verlaufen.

GLS:

0 + 2t - 4s = 0
5 + 4t + 2s = 0
1 + 1t = 0

Lösung t=-1, s = -1/2

Fußpunkt der Lotgerade: d(-1) = (-2,1,0)

Dieser Punkt entspricht dem Abhebepunkt.

e)

Die Flughöhe des Doppeldeckers ist gegeben durch

h(t) = 1 + t [km]

Bei t=7 Minuten wird eine Höhe von 8km erreicht.

Der Doppeldecker befindet sich dann bei Koordinate d(7) = (14, 33, 8).

Die Entfernung des Stadtzentrums vom Abhebepunkt (-2,1,0) beträgt dann

d[(-2,1,0),(14,33,0)] = \( \sqrt{16^2 + 32^2}  \) ~ 35.78 [km]

f)
v(Doppeldecker) = \( \sqrt{2^2 +4^2 + 1^2}  \) ~ 4.58 km/min
v(Motorgleiter) = \( \sqrt{1^2 +1^2 }  = \sqrt { 2 } \)  km/min

g)

Motorgleiter: Flugwinkel bezogen auf die Südachse (x-Koordinate 1, y-Koordinate 1) alpha = tan(1/1) → alpha = 45 Grad, aufgrund der Kompassausrichtung beträgt der Flugwinkel 180-45 = 135 Grad.

Doppeldecker: Flugwinkel bezogen auf die Südachse (x-Koordinate 2, y-Koordinate 4) alpha = tan(4/2) → alpha ~ 63.43 Grad, aufgrund der Kompassausrichtung beträgt der Flugwinkel 180-63.43 ~ 116.57 Grad.

h)
Beide Flugbahnen gleichsetzen:

0 + 2t1 = 0 + t2
5 + 4t1 = 9 + t2
1 + t1 = 3

Die Geraden schneiden sich für t1=2 und t2=4. Kollisionsgefahr besteht nur, wenn die beiden Flugzeuge den Schnittpunkt zum gleichen Zeitpunkt erreichen.

Extraaufgabe)

Verfahren wie bei d)

Lösung : \( \sqrt{99/2} \)


von 3,4 k
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Extraaufgabe:

Der kürzeste Abstand (in km) des Motorgleiters vom Fußpunkt des Towers ist \( \sqrt{\frac{99}{2}} \) und vom Tower \( \sqrt{h^2-6h+\frac{99}{2}} \) mit h = Towerhöhe (ebenfalls in km).

von 36 k

Die so ausgerechnete minimale Distanz in Abhängigkeit der Towerhöhe hat ein Minimum, wenn der Tower 3 km hoch wäre. Das entspricht der Flughöhe des Motorgleiters, macht also Sinn.

Wäre der Tower noch höher, wird die Distanz nicht größer, da sie dann nicht mehr bis zum oberen Ende des Towers gemessen wird, sondern weiterhin in horizontaler Richtung.

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