Zeigen Sie, dass F : R → R mit

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass F : R → R mit
F (x) :=∫ e^{(x+t)^2}dt mit der oberen Grenze von 1 und der unteren Grenze von 0
für x∈R
differenzierbar ist, und berechnen Sie F′(x)

Problem/Ansatz:

Ich würde den Satz 2 gerne anwenden und dafür F(t, x) =∫ e(x+t)^2dt mit der oberen Grenze von 1 und der unteren Grenze von 0 verwenden und dann nach x ableiten, das Problem ist, dass R nicht kompakt ist. Kann mir jemand dabei helfen?

Satz 2

Seien I,J ⊂ R kompakte Intervalle und f : I × J → R , (x, y) → f(x, y), eine stetige Funktion, die nach der Variablen y stetig differenzierbar ist. Für y ∈ J werde gesetzt
ϕ(y) := ∫ f(x, y) dx.
Dann ist die Funktion ϕ: J → R stetig differenzierbar und es gilt
dϕ(y)/dy = ∫ ∂f(x, y)/∂y dx