Untersuchen Sie die Funktion f auf Minima und Maxima.

Question

Seien a₁, a₂, ... , a_n ∈ ℝⁿ Vektoren und sei f : ℝⁿ → ℝ definiert durch

f(x) = $\sum\limits_{k=1}^{n}{||x-a_k||_2^2}$.

Untersuchen Sie die Funktion f auf Minima und Maxima.

Wobei ||·||₂ die euklidische Norm ist.

Answer 1

$f$ ist eine positiv definite quadratische Form und offenbar unbeschränkt.

Ihr Minimum liegt dort vor, wo der Gradient $grad(f)=0$ ist.

Berechne also den Gradienten und setze ihn = 0 ...

Zum Vergleich: ich habe heraus, dass $f$ in $$x=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k$$ein Minimum hat.

Answer 2

Aloha :)

Da die Funktion $f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R$ sein soll, vermute ich, dass du den Index $k$ bei den $x$ unter der Summe vergessen hast. Mit $\vec x=(x_1;x_2;\ldots;x_n)^T$ und $\vec a=(a_1;a_2;\ldots;a_n)^T$ gilt:$$f(\vec x)=\sum\limits_{k=1}^n\left\|x_k-a_k\right\|^2=(\vec x-\vec a)^2\implies\operatorname{grad} f(\vec x)=2(\vec x-\vec a)\stackrel!=\vec 0\implies\vec x=\vec a$$Der Gradient verschwindet für $\vec x=\vec a$. Es gibt also nur den Kandidaten $\vec x=\vec a$ für ein Extremum. Da die euklidische Norm $\ge0$ ist und $f(\vec a)=0$ ist, liegt bei $\vec x=\vec a$ ein globales Minimum vor.

Comments

vermute ich, dass du den Index $k$ bei den $x$ unter der Summe vergessen hast

Es spricht einiges gegen diese Vermutung.

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Es spricht einiges gegen diese Vermutung

Zum Beispiel die Tatsache, dass mit $\|.\|$ nicht der Betrag, sondern

die euklidische Norm gemeint ist und dass die

$a_k$ aus $\mathbb{R}^n$ sind.

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Dass die $a_k\in\mathbb R^n$ sind, ist klar. Wenn aber die Funktion von $\mathbb R^n\to\mathbb R$ abbilden soll, muss deren Argument $x\in\mathbb R^n$ sein. Sonst wäre es eine Funktion von $\mathbb R\to\mathbb R$. Die Differenz von zwei Vektoren passt auch viel besser zur euklidischn Norm.

Ob meine Vermutung stimmt, kann nur der Fragensteller entscheiden, indem er sich die Aufgabenstellung nochmal genau ansieht.

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Wenn $x=(x_1,\cdots, x_n)\in \mathbb{R}^n$ ist, gibt

$x_k-a_k$ keinen Sinn.

"Gefühlsmäßig" würde ich sagen, dass $x=(a_1+\cdots+a_n)/n$ die

Funktion $f$ minimiert, natürlich ohne Gewähr ;-)

Der Aufgabensteller hat ein vollkommen sauber formuliertes,

eindeutiges Problem gestellt, so dass er nichts mehr klären muss.

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Wenn das Problem so klar gestellt wäre, würde dein Posting nicht mit "Wenn.." und der nachfolgenden Vermutung anfangen. Dir ist offensichtlich auch nicht klar, was eigentlich konkret gemeint ist, also fasel nicht von klarer Aufgabenstellung.

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Ich verstehe nicht, wo etwas unklar formuliert sein sollte!

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Die Funktion $f$ geht von $\mathbb R^n$ nach $\mathbb R$. Also muss das Argument $x$ der Funktion $f(x)$ aus $\mathbb R^n$ sein.

Im Ausdruck steht $\|x-a_k\|$. Die Subtraktion eines $a_k\in\mathbb R$ von $x\in\mathbb R^n$ ist nicht definiert für $n\ge2$.

Daher meine Vermutung, dass es sich bei $x$ um einen Vektor handelt und in dem Ausdruck der Index $k$ fehlt, dass es also $\|x_k-a_k\|$ heißen müsste.

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Ja, aber die $a_k$ sind doch Vektoren mit n Komponenten:

$a_k=(a_{k,1},\cdots, a_{k,n})$.

Es geht doch offenbar um das Problem, einen Punkt zu

bestimmen, der von n vorgegebenen Punkten in einem bestimmten

Sinne einen kleinsten Abstand hat.

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Ah, ich habe die $a_1,a_2,\ldots,a_n$ als Komponenten eines Vektors aus $\mathbb R^n$ gedeutet. Wenn es sich um $n$ Vektoren aus $\mathbb R^n$ handelt, würde es passen...

Dann müsste ich nur meine Antwort nochmal überabeiten.

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Dann müsste ich nur meine Antwort nochmal überabeiten.

Oh ja, bin gespannt, ob dann für ein optimales x

gerade der "Mittelwert" der n Punkte $a_k$ herauskommt :-)