Seien a1, a2, ... , an ∈ ℝn Vektoren und sei f : ℝn → ℝ definiert durch
f(x) = ∑k=1n∣∣x−ak∣∣22 \sum\limits_{k=1}^{n}{||x-a_k||_2^2} k=1∑n∣∣x−ak∣∣22.
Untersuchen Sie die Funktion f auf Minima und Maxima.
Wobei ||·||2 die euklidische Norm ist.
fff ist eine positiv definite quadratische Form und offenbar unbeschränkt.
Ihr Minimum liegt dort vor, wo der Gradient grad(f)=0grad(f)=0grad(f)=0 ist.
Berechne also den Gradienten und setze ihn = 0 ...
Zum Vergleich: ich habe heraus, dass fff in x=1n∑k=1nakx=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_kx=n1k=1∑nakein Minimum hat.
Aloha :)
Da die Funktion f : Rn→Rf\colon\mathbb R^n\to\mathbb Rf : Rn→R sein soll, vermute ich, dass du den Index kkk bei den xxx unter der Summe vergessen hast. Mit x⃗=(x1;x2;…;xn)T\vec x=(x_1;x_2;\ldots;x_n)^Tx=(x1;x2;…;xn)T und a⃗=(a1;a2;…;an)T\vec a=(a_1;a_2;\ldots;a_n)^Ta=(a1;a2;…;an)T gilt:f(x⃗)=∑k=1n∥xk−ak∥2=(x⃗−a⃗)2 ⟹ gradf(x⃗)=2(x⃗−a⃗)=!0⃗ ⟹ x⃗=a⃗f(\vec x)=\sum\limits_{k=1}^n\left\|x_k-a_k\right\|^2=(\vec x-\vec a)^2\implies\operatorname{grad} f(\vec x)=2(\vec x-\vec a)\stackrel!=\vec 0\implies\vec x=\vec af(x)=k=1∑n∥xk−ak∥2=(x−a)2⟹gradf(x)=2(x−a)=!0⟹x=aDer Gradient verschwindet für x⃗=a⃗\vec x=\vec ax=a. Es gibt also nur den Kandidaten x⃗=a⃗\vec x=\vec ax=a für ein Extremum. Da die euklidische Norm ≥0\ge0≥0 ist und f(a⃗)=0f(\vec a)=0f(a)=0 ist, liegt bei x⃗=a⃗\vec x=\vec ax=a ein globales Minimum vor.
vermute ich, dass du den Index kkk bei den xxx unter der Summe vergessen hast
Es spricht einiges gegen diese Vermutung.
Es spricht einiges gegen diese Vermutung
Zum Beispiel die Tatsache, dass mit ∥.∥\|.\|∥.∥ nicht der Betrag, sondern
die euklidische Norm gemeint ist und dass die
aka_kak aus Rn\mathbb{R}^nRn sind.
Dass die ak∈Rna_k\in\mathbb R^nak∈Rn sind, ist klar. Wenn aber die Funktion von Rn→R\mathbb R^n\to\mathbb RRn→R abbilden soll, muss deren Argument x∈Rnx\in\mathbb R^nx∈Rn sein. Sonst wäre es eine Funktion von R→R\mathbb R\to\mathbb RR→R. Die Differenz von zwei Vektoren passt auch viel besser zur euklidischn Norm.
Ob meine Vermutung stimmt, kann nur der Fragensteller entscheiden, indem er sich die Aufgabenstellung nochmal genau ansieht.
Wenn x=(x1,⋯ ,xn)∈Rnx=(x_1,\cdots, x_n)\in \mathbb{R}^nx=(x1,⋯,xn)∈Rn ist, gibt
xk−akx_k-a_kxk−ak keinen Sinn.
"Gefühlsmäßig" würde ich sagen, dass x=(a1+⋯+an)/nx=(a_1+\cdots+a_n)/nx=(a1+⋯+an)/n die
Funktion fff minimiert, natürlich ohne Gewähr ;-)
Der Aufgabensteller hat ein vollkommen sauber formuliertes,
eindeutiges Problem gestellt, so dass er nichts mehr klären muss.
Wenn das Problem so klar gestellt wäre, würde dein Posting nicht mit "Wenn.." und der nachfolgenden Vermutung anfangen. Dir ist offensichtlich auch nicht klar, was eigentlich konkret gemeint ist, also fasel nicht von klarer Aufgabenstellung.
Ich verstehe nicht, wo etwas unklar formuliert sein sollte!
Die Funktion fff geht von Rn\mathbb R^nRn nach R\mathbb RR. Also muss das Argument xxx der Funktion f(x)f(x)f(x) aus Rn\mathbb R^nRn sein.
Im Ausdruck steht ∥x−ak∥\|x-a_k\|∥x−ak∥. Die Subtraktion eines ak∈Ra_k\in\mathbb Rak∈R von x∈Rnx\in\mathbb R^nx∈Rn ist nicht definiert für n≥2n\ge2n≥2.
Daher meine Vermutung, dass es sich bei xxx um einen Vektor handelt und in dem Ausdruck der Index kkk fehlt, dass es also ∥xk−ak∥\|x_k-a_k\|∥xk−ak∥ heißen müsste.
Ja, aber die aka_kak sind doch Vektoren mit n Komponenten:
ak=(ak,1,⋯ ,ak,n)a_k=(a_{k,1},\cdots, a_{k,n})ak=(ak,1,⋯,ak,n).
Es geht doch offenbar um das Problem, einen Punkt zu
bestimmen, der von n vorgegebenen Punkten in einem bestimmten
Sinne einen kleinsten Abstand hat.
Ah, ich habe die a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_na1,a2,…,an als Komponenten eines Vektors aus Rn\mathbb R^nRn gedeutet. Wenn es sich um nnn Vektoren aus Rn\mathbb R^nRn handelt, würde es passen...
Dann müsste ich nur meine Antwort nochmal überabeiten.
Oh ja, bin gespannt, ob dann für ein optimales x
gerade der "Mittelwert" der n Punkte aka_kak herauskommt :-)
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