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Seien a1, a2, ... , an ∈ ℝn Vektoren und sei f : ℝn → ℝ definiert durch

f(x) = k=1nxak22 \sum\limits_{k=1}^{n}{||x-a_k||_2^2} .

Untersuchen Sie die Funktion f auf Minima und Maxima.

Wobei ||·||2 die euklidische Norm ist.

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ff ist eine positiv definite quadratische Form und offenbar unbeschränkt.

Ihr Minimum liegt dort vor, wo der Gradient grad(f)=0grad(f)=0 ist.

Berechne also den Gradienten und setze ihn = 0 ...

Zum Vergleich: ich habe heraus, dass ff in x=1nk=1nakx=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_kein Minimum hat.

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Aloha :)

Da die Funktion f ⁣ : RnRf\colon\mathbb R^n\to\mathbb R sein soll, vermute ich, dass du den Index kk bei den xx unter der Summe vergessen hast. Mit x=(x1;x2;;xn)T\vec x=(x_1;x_2;\ldots;x_n)^T und a=(a1;a2;;an)T\vec a=(a_1;a_2;\ldots;a_n)^T gilt:f(x)=k=1nxkak2=(xa)2    gradf(x)=2(xa)=!0    x=af(\vec x)=\sum\limits_{k=1}^n\left\|x_k-a_k\right\|^2=(\vec x-\vec a)^2\implies\operatorname{grad} f(\vec x)=2(\vec x-\vec a)\stackrel!=\vec 0\implies\vec x=\vec aDer Gradient verschwindet für x=a\vec x=\vec a. Es gibt also nur den Kandidaten x=a\vec x=\vec a für ein Extremum. Da die euklidische Norm 0\ge0 ist und f(a)=0f(\vec a)=0 ist, liegt bei x=a\vec x=\vec a ein globales Minimum vor.

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vermute ich, dass du den Index kk bei den xx unter der Summe vergessen hast

Es spricht einiges gegen diese Vermutung.

Es spricht einiges gegen diese Vermutung

Zum Beispiel die Tatsache, dass mit .\|.\| nicht der Betrag, sondern

die euklidische Norm gemeint ist und dass die

aka_k aus Rn\mathbb{R}^n sind.

Dass die akRna_k\in\mathbb R^n sind, ist klar. Wenn aber die Funktion von RnR\mathbb R^n\to\mathbb R abbilden soll, muss deren Argument xRnx\in\mathbb R^n sein. Sonst wäre es eine Funktion von RR\mathbb R\to\mathbb R. Die Differenz von zwei Vektoren passt auch viel besser zur euklidischn Norm.

Ob meine Vermutung stimmt, kann nur der Fragensteller entscheiden, indem er sich die Aufgabenstellung nochmal genau ansieht.

Wenn x=(x1,,xn)Rnx=(x_1,\cdots, x_n)\in \mathbb{R}^n ist, gibt

xkakx_k-a_k keinen Sinn.

"Gefühlsmäßig" würde ich sagen, dass x=(a1++an)/nx=(a_1+\cdots+a_n)/n die

Funktion ff minimiert, natürlich ohne Gewähr ;-)

Der Aufgabensteller hat ein vollkommen sauber formuliertes,

eindeutiges Problem gestellt, so dass er nichts mehr klären muss.

Wenn das Problem so klar gestellt wäre, würde dein Posting nicht mit "Wenn.." und der nachfolgenden Vermutung anfangen. Dir ist offensichtlich auch nicht klar, was eigentlich konkret gemeint ist, also fasel nicht von klarer Aufgabenstellung.

Ich verstehe nicht, wo etwas unklar formuliert sein sollte!

Die Funktion ff geht von Rn\mathbb R^n nach R\mathbb R. Also muss das Argument xx der Funktion f(x)f(x) aus Rn\mathbb R^n sein.

Im Ausdruck steht xak\|x-a_k\|. Die Subtraktion eines akRa_k\in\mathbb R von xRnx\in\mathbb R^n ist nicht definiert für n2n\ge2.

Daher meine Vermutung, dass es sich bei xx um einen Vektor handelt und in dem Ausdruck der Index kk fehlt, dass es also xkak\|x_k-a_k\| heißen müsste.

Ja, aber die aka_k sind doch Vektoren mit n Komponenten:

ak=(ak,1,,ak,n)a_k=(a_{k,1},\cdots, a_{k,n}).

Es geht doch offenbar um das Problem, einen Punkt zu

bestimmen, der von n vorgegebenen Punkten in einem bestimmten

Sinne einen kleinsten Abstand hat.

Ah, ich habe die a1,a2,,ana_1,a_2,\ldots,a_n als Komponenten eines Vektors aus Rn\mathbb R^n gedeutet. Wenn es sich um nn Vektoren aus Rn\mathbb R^n handelt, würde es passen...

Dann müsste ich nur meine Antwort nochmal überabeiten.

Dann müsste ich nur meine Antwort nochmal überabeiten.

Oh ja, bin gespannt, ob dann für ein optimales x

gerade der "Mittelwert" der n Punkte aka_k herauskommt :-)

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