Könnte jemand überprüfen, ob ich die Aufgabe richtig gemacht habe

Question

(4) Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz bzw. absolute Konvergenz (ohne den Wert zu berechnen).

(a) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{\sqrt{n}}{n+1} \),
(b) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1} \frac{k+1}{k} \),
(c) \( \sum \limits_{j=4}^{\infty}(-1)^{2 j} \frac{1}{\sqrt{j}} \),
(d) \( \sum \limits_{\ell=1}^{\infty} \frac{3^{\ell}}{2 \ell+\ell !} \).

cuff Konvergenz brw abs Konveyen'

(a) \( \sum \limits_{n=1}^{n}(-1)^{n+1} \frac{\sqrt{n}}{n+1} \)
konv uach Leibuitz kut.
(b) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1} \frac{k+1}{k} \)
dibergleet nach Leibutr-kert
\( \frac{K+L}{k} \rightarrow 1, K \rightarrow \infty \)
c) \( \sum \limits_{j=4}^{\infty}(-1)^{2 j} \frac{1}{\sqrt{j}}=\sum \limits_{j=4}^{n} \frac{1}{\sqrt{j}}-\sum \limits_{j=4}^{n} \frac{1}{\sqrt{j}} \)
Q.1. \( \left|\frac{\frac{1}{\frac{\sqrt{j+1}}{\frac{1}{\sqrt{j}}}} \mid}{\mid}\right| \)
(d) \( \sum \limits_{l=1}^{n} \frac{3^{l}}{2 l+l} \leqslant \sum \limits_{l=1}^{n} \frac{3^{l}}{2+l !}<\sum \limits_{l=1}^{\infty} \frac{s^{c}}{\text { n! konk }} \mathrm{~ m a j e a n} \)
QT \( \left|\frac{\frac{3^{l+1}}{\frac{3^{t}}{l}}}{e}\right|=\left|\frac{\frac{3)^{l} \cdot 3}{\frac{\lambda^{l}}{l+1}}}{t !}\right|=\left|\frac{3}{l+1}\right| \rightarrow 0,1-\infty{ }^{c} \mid \)
s.

Answer 1

bei c) kannst du keine Aussage treffen, da die Folge beim Qoutientenkriterium gegen 1 konvergiert, wenn sie größer als 1 wäre, dann würde es divergieren. Aber dass die Reihe divergiert stimmt, benutze Minorantenkriterium:

(-1)^2j = 1 für alle j und die Reihe mit 1/Wurzel (j) ist kleiner gleich die mit 1/j , und da die Reihe mit 1/j als Folge eine harmonische ist, wobei j im Nenner 1 als Exponenten hat, divergiert die Reihe.

bei b) würde ich stattdessen eine Indexverschiebung machen, also die Reihe umändern, dass es bei k=2 anfängt, dann sollte (-1)^k*(k/(k-1)) stehen, dann kannst du das mittels Leibniz-Kriterium gucken, weil dann erst die Bedingungen erfüllt sind, damit du das damit prüfen kannst. bei a) auch