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Aufgabe: Bestimme die Nullstellen mit Ausklammern

f(x)=x4−5x2+4

Lösung muss sein:
2; -2; 1; -1


Problem/Ansatz:

Ich habe versucht die Aufgabe mit Rücksubstitution zu Lösen.
(ohne Taschenrechner)

ich habe x2 = u gesetzt und
u1/u2 = Mitternachtsformel

5 +/- Wurzel aus (Undefiniert) / 2 

Ich glaube langsam dass die Aufgabe falsch gestellt ist. wenn die Aufgabe
f(x)=x4+5x2+4 lauten würde; bekomme ich die richtigen Ergebnisse.

-5 +/- Wurzel aus 9 (also 3) / 2 

Avatar von
wenn die Aufgabe
f(x)=x4+5x2+4 lauten würde; bekomme ich die richtigen Ergebnisse.

Das wundert mich doch sehr:

x4+5x+4=(x2+1)(x2+4)x^4+5x+4=(x^2+1)(x^2+4)

Der erste Faktor ist >= 1, der 2-te sogar >=4. Wie soll da 0 herauskommen?

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Beste Antwort

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

f(x)=x45x2+4f(x)=x^4-5x^2+4

Suche 2 Zahlen mit der Summe (5)(-5) und dem Produkt (+4)(+4). Das wären (1)(-1) und (4)(-4)

f(x)=(x21)(x24)f(x)=(x^2-1)\cdot(x^2-4)

Nutze die dritte binomische Formel zum Faktorisieren:f(x)=(x1)(x+1)(x2)(x+2)f(x)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)

Nun kannst du vier Nullstellen ablesen:x=±1  ;  x=±2\quad x=\pm1\;;\;x=\pm2.

Avatar von 153 k 🚀

Dankeschön o/

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x45x2+4=(x21)(x24)=0x^4-5x^2+4=(x^2-1)(x^2-4)=0, also

x21=0x^2-1=0 oder x24=0x^2-4=0, also x2=1x^2=1 oder x2=4x^2=4, d.h.

x=±1x=\pm 1 oder x=±2x=\pm 2.

Der Sinn der Sache war ja, nicht! die pq-Formel zu verwenden.

Avatar von 29 k

Wie müsste die Aufgabe aussehen damit ich die mit PQ / Mitternachtsformel lösen kann?

Den Lösungsweg habe ich nämlich so noch nie gesehen. Jetzt wo ichs gesehen habe, machts natürlich weitaus mehr sinn! Aber muss man erstmal drauf kommen hihi

9917F116-C234-4ECD-8A49-54E1C10379DC.jpegdas hier habe ich gefunden, als Schema.

Du kannst ja nach Substitution u=x2u=x^2 jede solche

Aufgabe mit der pq-Formel bearbeiten. Nur ist das in manchen

Fällen - so wie hier - nicht besonders elegant.

Die Aufgabenstellung spricht ja auch davon, man solle

die Sache mit "Ausklammern" angehen.

Dankeschön! o/

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x4-5x2+4

Vieta:

(x2-4)(x-1)=0

x2-4 =0

x= ±2

oder:

x-1= 0

x= 1

Avatar von 81 k 🚀

Ein Quadrat vergessen?

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Hallo,

0=x4−5x2+4

0=x4−1x2-4x2+4

0=x2(x2−1)-4(x2-1)

0=(x2-4)(x2-1)

Nun die Klammern jeweils gleich Null setzen.

Fertig.

:-)

Avatar von 47 k
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ich habe x2 = u gesetzt und
u1/u2 = Mitternachtsformel

5 +/- Wurzel aus (Undefiniert) / 2

Schon falsch.

Versuche 2,5 +/- Wurzel...

Avatar von 56 k 🚀
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Bestimme die Nullstellen durch Ausklammern. f(x)=x45x2+4f(x)=x^4−5x^2+4

Okay, dann zeigen wir auch noch die vollständige Faktorisierung nur durch Ausklammern:
f(x)=x45x2+4=x4x24x2+4=x2(x21)4(x21)=(x24)(x21)=(x2+2x2x4)(x2+xx1)=(x(x+2)2(x+2))(x(x+1)(x+1))=(x2)(x+2)(x1)(x+1)\begin{aligned} f(x)&=x^4-5x^2+4\\ &=x^4-x^2-4x^2+4\\ &=x^2\cdot\left(x^2-1\right)-4\cdot\left(x^2-1\right)\\ &=\left(x^2-4\right)\cdot\left(x^2-1\right)\\ &=\left(x^2+2x-2x-4\right)\cdot\left(x^2+x-x-1\right)\\ &=\left(x\cdot\left(x+2\right)-2\cdot\left(x+2\right)\right)\cdot\left(x\cdot\left(x+1\right)-\left(x+1\right)\right)\\ &=\left(x-2\right)\cdot\left(x+2\right)\cdot\left(x-1\right)\cdot\left(x+1\right)\\ \end{aligned} Es geht also auch ohne pq-Formel, abc-Formel, binomische Formeln, Satz von Viéta, Nullstellenraten, Polynomdivision usw. Insgesamt wurde, wenn ich richtig gezählt habe, neun mal ausgeklammert, manchmal vorbereitet durch die passende Zerlegung eines Monoms.

Avatar von 27 k
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Lösungsweg, wenn Ausklammern nicht vorgegeben ist:

f(x)=x45x2+4f(x)=x^4-5x^2+4

x45x2+4=0x^4-5x^2+4=0

x45x2=4x^4-5x^2=-4

(x22,5)2=4+6,25=2,25  (x^2-2,5)^2=-4+6,25=2,25|\sqrt{~~}

1.)  x2=4x^2=4

x=2x=2x₁=2 ∨ x₂=-2

2.)  x2=1x^2=1

x=1x=1x₃=1 ∨ x₄=-1

Avatar von 42 k

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