Aufgabe: Bestimme die Nullstellen mit Ausklammern f(x)=x4−5x2+4
Lösung muss sein:2; -2; 1; -1Problem/Ansatz:Ich habe versucht die Aufgabe mit Rücksubstitution zu Lösen. (ohne Taschenrechner)ich habe x2 = u gesetzt und u1/u2 = Mitternachtsformel5 +/- Wurzel aus (Undefiniert) / 2 Ich glaube langsam dass die Aufgabe falsch gestellt ist. wenn die Aufgabe f(x)=x4+5x2+4 lauten würde; bekomme ich die richtigen Ergebnisse.-5 +/- Wurzel aus 9 (also 3) / 2
wenn die Aufgabef(x)=x4+5x2+4 lauten würde; bekomme ich die richtigen Ergebnisse.
Das wundert mich doch sehr:
x4+5x+4=(x2+1)(x2+4)x^4+5x+4=(x^2+1)(x^2+4)x4+5x+4=(x2+1)(x2+4)
Der erste Faktor ist >= 1, der 2-te sogar >=4. Wie soll da 0 herauskommen?
Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
f(x)=x4−5x2+4f(x)=x^4-5x^2+4f(x)=x4−5x2+4
Suche 2 Zahlen mit der Summe (−5)(-5)(−5) und dem Produkt (+4)(+4)(+4). Das wären (−1)(-1)(−1) und (−4)(-4)(−4)
f(x)=(x2−1)⋅(x2−4)f(x)=(x^2-1)\cdot(x^2-4)f(x)=(x2−1)⋅(x2−4)
Nutze die dritte binomische Formel zum Faktorisieren:f(x)=(x−1)(x+1)(x−2)(x+2)f(x)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)f(x)=(x−1)(x+1)(x−2)(x+2)
Nun kannst du vier Nullstellen ablesen:x=±1 ; x=±2\quad x=\pm1\;;\;x=\pm2x=±1;x=±2.
Dankeschön o/
x4−5x2+4=(x2−1)(x2−4)=0x^4-5x^2+4=(x^2-1)(x^2-4)=0x4−5x2+4=(x2−1)(x2−4)=0, also
x2−1=0x^2-1=0x2−1=0 oder x2−4=0x^2-4=0x2−4=0, also x2=1x^2=1x2=1 oder x2=4x^2=4x2=4, d.h.
x=±1x=\pm 1x=±1 oder x=±2x=\pm 2x=±2.
Der Sinn der Sache war ja, nicht! die pq-Formel zu verwenden.
Wie müsste die Aufgabe aussehen damit ich die mit PQ / Mitternachtsformel lösen kann?
Den Lösungsweg habe ich nämlich so noch nie gesehen. Jetzt wo ichs gesehen habe, machts natürlich weitaus mehr sinn! Aber muss man erstmal drauf kommen hihi
das hier habe ich gefunden, als Schema.
Du kannst ja nach Substitution u=x2u=x^2u=x2 jede solche
Aufgabe mit der pq-Formel bearbeiten. Nur ist das in manchen
Fällen - so wie hier - nicht besonders elegant.
Die Aufgabenstellung spricht ja auch davon, man solle
die Sache mit "Ausklammern" angehen.
Dankeschön! o/
x4-5x2+4
Vieta:
(x2-4)(x-1)=0
x2-4 =0
x= ±2
oder:
x-1= 0
x= 1
Ein Quadrat vergessen?
Hallo,
0=x4−5x2+4
0=x4−1x2-4x2+4
0=x2(x2−1)-4(x2-1)
0=(x2-4)(x2-1)
Nun die Klammern jeweils gleich Null setzen.
Fertig.
:-)
ich habe x2 = u gesetzt undu1/u2 = Mitternachtsformel5 +/- Wurzel aus (Undefiniert) / 2
Schon falsch.
Versuche 2,5 +/- Wurzel...
Bestimme die Nullstellen durch Ausklammern. f(x)=x4−5x2+4f(x)=x^4−5x^2+4f(x)=x4−5x2+4
Okay, dann zeigen wir auch noch die vollständige Faktorisierung nur durch Ausklammern: f(x)=x4−5x2+4=x4−x2−4x2+4=x2⋅(x2−1)−4⋅(x2−1)=(x2−4)⋅(x2−1)=(x2+2x−2x−4)⋅(x2+x−x−1)=(x⋅(x+2)−2⋅(x+2))⋅(x⋅(x+1)−(x+1))=(x−2)⋅(x+2)⋅(x−1)⋅(x+1)\begin{aligned} f(x)&=x^4-5x^2+4\\ &=x^4-x^2-4x^2+4\\ &=x^2\cdot\left(x^2-1\right)-4\cdot\left(x^2-1\right)\\ &=\left(x^2-4\right)\cdot\left(x^2-1\right)\\ &=\left(x^2+2x-2x-4\right)\cdot\left(x^2+x-x-1\right)\\ &=\left(x\cdot\left(x+2\right)-2\cdot\left(x+2\right)\right)\cdot\left(x\cdot\left(x+1\right)-\left(x+1\right)\right)\\ &=\left(x-2\right)\cdot\left(x+2\right)\cdot\left(x-1\right)\cdot\left(x+1\right)\\ \end{aligned}f(x)=x4−5x2+4=x4−x2−4x2+4=x2⋅(x2−1)−4⋅(x2−1)=(x2−4)⋅(x2−1)=(x2+2x−2x−4)⋅(x2+x−x−1)=(x⋅(x+2)−2⋅(x+2))⋅(x⋅(x+1)−(x+1))=(x−2)⋅(x+2)⋅(x−1)⋅(x+1) Es geht also auch ohne pq-Formel, abc-Formel, binomische Formeln, Satz von Viéta, Nullstellenraten, Polynomdivision usw. Insgesamt wurde, wenn ich richtig gezählt habe, neun mal ausgeklammert, manchmal vorbereitet durch die passende Zerlegung eines Monoms.
Lösungsweg, wenn Ausklammern nicht vorgegeben ist:
x4−5x2+4=0x^4-5x^2+4=0x4−5x2+4=0
x4−5x2=−4x^4-5x^2=-4x4−5x2=−4
(x2−2,5)2=−4+6,25=2,25∣ (x^2-2,5)^2=-4+6,25=2,25|\sqrt{~~}(x2−2,5)2=−4+6,25=2,25∣
1.) x2=4x^2=4x2=4
x₁=2∨x₂=−2x₁=2 ∨ x₂=-2x₁=2∨x₂=−2
2.) x2=1x^2=1x2=1
x₃=1∨x₄=−1x₃=1 ∨ x₄=-1x₃=1∨x₄=−1
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