Konvergenzradius Berechnung von Potenzreihen

Question

Aufgabe:
Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen:$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\binom{3n}{n}\cdot x^n$$
Problem/Ansatz:

Hey, kann mir jemand helfen, ich bin gerade dabei den Limes auszurechnen, jedoch komme ich nicht bei dem 3n über n weiter, wegen den Fakultäten, kann ich n! auseinanderziehen z.b.?

Answer 1

Du brauchst ja den Grenzwert von \( \frac{a_n }{a_{n+1} } \)

Das wäre hier also \( \frac{ \frac{(3n)!}{n! \cdot (2n)! } }{ \frac{(3(n+1))!}{(n+1)! \cdot (2(n+1))! }}   =\frac{ \frac{(3n)!}{n! \cdot (2n)! } }{ \frac{(3n+3)!}{(n+1)! \cdot (2n+2))! }}  \)

\(  = \frac{(3n)! \cdot (n+1)! \cdot (2n+2))! }{n! \cdot (2n)! \cdot (3n+3)!}  \)

\(  = \frac{(3n)! \cdot (n+1) \cdot n! \cdot (2n+2)(2n+1) (2n)! }{n! \cdot (2n)! \cdot (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!}  \)  Kürzen gibt

\(  = \frac{ (n+1)  \cdot (2n+2)(2n+1) }{ (3n+3)(3n+2)(3n+1)}   \)

Und wenn man die Klammern auflöst hat man im Zähler was

mit 4n^3 und im Nenner was mit 27n^3, also Grenzwert 4/27.

Answer 2

Man betrachtet die Folge \( \frac{a_n}{a_{n+1}} \) mit

\( a_n = \begin{pmatrix} 3n \\ n \end{pmatrix} = \frac{ (3n)! }{ n! * (2n)!} \)

und

\( a_{n+1} = \begin{pmatrix} 3n+3  \\ n+1 \end{pmatrix} = \frac{ (3n+3)! }{ (n+1)! * (2n+2)!} = \frac{ (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)! }{ (n+1)n! * (2n+2)(2n+1)(2n)!}  \)

\( \frac{a_n}{a_{n+1}}  =  \frac{ (n+1)(2n+2)(2n+1) }{ (3n+3)(3n+2)(3n+1) } =  \frac{ (n+1)2(n+1)(2n+1) }{ 3(n+1)(3n+2)(3n+1) } =  \frac{ 2(n+1)(2n+1) }{ 3(3n+2)(3n+1) } \)

\(  \lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}  =  \frac{ (1+\frac{1}{n})2(1+\frac{1}{n})(2+\frac{1}{n}) }{ 3(1+\frac{1}{n})(3+\frac{2}{n})(3+\frac{1}{n}) } = \frac{4}{27} \)

Die Reihe hat somit den Konvergenzradius \( -\frac{4}{27} < x < +\frac{4}{27} \)