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Aufgabe: Aufgabe AU37 1.)


Problem/Ansatz:Wie komt man hier auf den Limes superior=e ?Screenshot 2022-01-08 174428.png

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Aufgabe U37
Bestimmen Sie jeweils den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen.
1. n=0en+en2xn \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{e^{n}+e^{-n}}{2} \cdot x^{n} ,
3. n=2(3x)n(n2) \sum \limits_{n=2}^{\infty} \frac{(3 \cdot x)^{n}}{\left(\begin{array}{l}n \\ 2\end{array}\right)} ,
2. n=1(12n)n2xn \sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n^{2}} \cdot x^{n} ,
4. n=1(k=1n1k)xn \sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\right) \cdot x^{n} .
Lösungsvorschlag:
1. Wegen
12enen+en2en \frac{1}{2} \cdot e^{n} \leq \frac{e^{n}+e^{-n}}{2} \leq e^{n}
und limn2n=1 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{2}=1 gilt
lim supnen+en2n=e \limsup _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{e^{n}+e^{-n}}{2}}=e
Somit ist der Konvergenzradius der ersten Potenzreihe gegeben durch r1=e1 r_{1}=e^{-1} .
2. Es gilt
lim supn12nn2n=lim supn(12n)n=e2 \limsup _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|1-\frac{2}{n}\right|^{n^{2}}}=\limsup _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n}=e^{-2}

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1 Antwort

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"Wie kommt man hier auf den Limes superior=e ? "

Man hat die Majorante "nteWurzel von en " und das ist schlicht e für beliebige n.

Avatar von 162 k 🚀

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