Aufgabe: Aufgabe AU37 1.)
Problem/Ansatz:Wie komt man hier auf den Limes superior=e ?
Text erkannt:
Aufgabe U37
Bestimmen Sie jeweils den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen.
1. n=0∑∞2en+e−n⋅xn,
3. n=2∑∞(n2)(3⋅x)n,
2. n=1∑∞(1−n2)n2⋅xn,
4. n=1∑∞(k=1∑nk1)⋅xn.
Lösungsvorschlag:
1. Wegen
21⋅en≤2en+e−n≤en
und n→∞limn2=1 gilt
limsupn→∞n2en+e−n=e
Somit ist der Konvergenzradius der ersten Potenzreihe gegeben durch r1=e−1.
2. Es gilt
limsupn→∞n∣∣∣1−n2∣∣∣n2=limsupn→∞(1−n2)n=e−2